Функция одной случайной величины

Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X: Y = j(X).

Если X – дискретная случайная величина имеет закон распределения , тогда функция имеет значения , найденные по следующей формуле:

(74)

с теми же вероятностями, т. е. .

Если некоторым различным значениям x_i будут соответствовать равные значения y_i, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Если X – непрерывная случайная величина, заданная дифференциальной функцией f (x), и если – дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то дифференциальная функция g (y) случайной величины Y находится по равенству:

. (75)

Если функция кусочно монотонная, то следует разбить интервал возможных значений X на такие интервалы, где функция монотонна, и найти g_i (y) для каждого интервала:

. (76)

Пример 2.28. Найти закон распределения случайной величины
Y = X ⁴, если дискретная случайная величина Х задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем возможные значения Y:

; ; ; .

Так как и , следовательно

;

.

Искомый закон распределения величины Y можно представить в виде таблицы

Пример 2.29. Задана дифференциальная функция f (x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (1; 3). Найти дифференциальную функцию случайной величины
Y = 3 X + 1.

Решение. Так как функция y = 3 x + 1 является дифференцируемой и строго возрастает, следовательно

; .

Найдем :

.

Искомая дифференциальная функция:

.

Так как х изменяется в интервале (1; 3) и y = 3 x + 1, то .

Ответ: ; .

Пример 2.30. Найти распределение функции Y = X ³, если случайная величина X распределена нормально и ее математическое ожидание равно 0.

Решение. Так как функция y = x ³ дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу (75).

Функция обратная функции y = x ³. Найдем .

По условию , поэтому:

, .

Ответ: .

Пример 2.31. Найти математическое ожидание функции Y = j(X) =
= X ² + 1, если дискретная случайная величина X задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем возможные значения Y:

; ; .

Следовательно, закон распределения величины Y можно представить в виде таблицы

Используя формулу найдем математическое ожидание заданной функции: .

Ответ: М (Х ² +1) = 13,2.

Пример 2.32. Найти математическое ожидание функции Y = j(X) =
= X ², если непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения f (x) = sin x в интервале ; f (x) = 0 вне этого интервала.

Решение. ; .

Интегрируя по частям, получим: .

Ответ: .