Основные свойства определенного интеграла

Геометрический и механический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл: определенный интеграл от неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией f(x), снизу осью Ox, слева прямой x=a, справа прямой x=b.

Механический смысл: если f(x) есть величина переменной силы, т.е. F = f(x), то определенный интеграл выражает работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль прямолинейного пути (вдоль отрезка [ a, b ].

Итак, геометрический смысл определенного интеграла есть площадь, а механический – работа переменной силы.

Основные свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

Действительно,

2. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых. Например, для двух слагаемых:

Это свойство доказывается аналогично.

Замечание. Свойства 1. и 2. характеризуют свойство линейности определенного интеграла.

3. Свойство аддитивности определенного интеграла. Если область интегрирования [a; b] разбить на две части [a; c] и [c; b], то: