double arrow

Базис прямой, плоскости и пространства

3

5.20. Что такое пространство ?

5.21. Пусть ненулевой вектор . Как выражается через него любой вектор ? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координата вектора в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .

5.22. Пусть векторы - компланарны, а векторы - неколлинеарны. Как, используя линейные операции, выразить вектор через векторы ? Поясните это геометрически. Единственно ли такое представление? Обязательно ли требование неколлинеарности векторов и ?

5.23. Что такое пространство ?

5.24. Пусть ненулевые неколлинеарные векторы . Как выражается через них любой вектор ? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координаты вектора в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .

5.25. Что такое пространство ?

5.26. Пусть векторы - некомпланарны. Как, используя линейные операции, выразить любой вектор через векторы ? Поясните это геометрически. Единственно ли такое представление? Обязательно ли требование некомпланарности векторов ?

5.27. Пусть ненулевые некомпланарные векторы . Как выражается через них любой вектор ? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координаты вектора в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .

5.28. Дайте определения линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

5.29. Являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми следующие системы векторов: а) два коллинеарных вектора; б) два неколлинеарных вектора; в) три компланарных вектора; г) три некомпланарных вектора; д) четыре некомпланарых вектора; е) базисы пространств ?

5.30. Пусть известны координаты векторов и в некотором базисе. Как найти координаты вектора ?

5.31. Пусть известны координаты вектора в некотором базисе и число . Как найти координаты вектора ?

5.32. Пусть в некотором базисе заданы векторы и . Найдите координаты вектора .

5.33. Как, зная координаты двух векторов в некотором базисе, определить, являются ли эти векторы коллинеарными? Коллинеарны ли векторы:

а) и ; б) и

5.34. Пусть в некотором базисе , , . Определите, образуют ли векторы и базис в пространстве . Если да, то разложите вектор по этому базису.

5.35. Что такое прямоугольный (ортонормированный) базис?

5.36. Запишите координаты вектора . Пусть в ортонормированном базисе . Запишите разложение вектора по этому базису.

5.37. Запишите координаты векторов , и .

5.38. Пусть , и - векторы из задания 5.32. Найдите координаты вектора

5.39. Как «устроена» прямоугольная декартова система координат? Как определяются координаты точки в этой системе координат? Укажите вектор, координаты которого совпадают с декатровыми координатами точки .

5.40. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат , , а точка - начало координат. Найдите координаты векторов , и

5.41. Как найти координаты вектора по координатам его начала и конца?

5.42. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найдите координаты векторов , и .

5.43. Известны координаты трех вершин параллелограмма: , , и . Найдите координаты четвертой вершины и координаты векторов , , .

5.44. Пусть - точки в пространстве, точка - середина отрезка . Выразите вектор , где через векторы и .

5.45. Пусть и - отрезки в пространстве, а точки и - их середины соответственно. Выразите вектор через векторы и .

5.46. Пусть - точки в пространстве, а точка делит отрезок в отношении , считая от точки . Выразите вектор , где через векторы и .

5.47. Пусть - середина отрезка . Выразите координаты точки через координаты точек и .

5.48. Пусть точка делит отрезок в отношении , считая от точки . Выразите координаты точки через координаты точек и .

5.49. - точка пресечения медиан треугольника , - произвольная точка пространства. Выразите вектор через векторы , и .

5.50. Задан тетраэдр . В базисе из ребер , и найти координаты:

а) вектора , где и - середины ребер и ;

б) вектора , где - точка пересечения медиан основания

3

Сейчас читают про: