2015-06-28
1759
5.20. Что такое пространство 
?
5.21. Пусть ненулевой вектор 
. Как выражается через него любой вектор 
? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координата вектора 
в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .
5.22. Пусть векторы 
- компланарны, а векторы 
- неколлинеарны. Как, используя линейные операции, выразить вектор через векторы ? Поясните это геометрически. Единственно ли такое представление? Обязательно ли требование неколлинеарности векторов 
и 
?
5.23. Что такое пространство 
?
5.24. Пусть ненулевые неколлинеарные векторы 
. Как выражается через них любой вектор 
? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координаты вектора в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .
5.25. Что такое пространство 
?
5.26. Пусть векторы 
- некомпланарны. Как, используя линейные операции, выразить любой вектор через векторы 
? Поясните это геометрически. Единственно ли такое представление? Обязательно ли требование некомпланарности векторов ?
5.27. Пусть ненулевые некомпланарные векторы 
. Как выражается через них любой вектор 
? Единственно ли данное представление вектора? Поясните термины: базис пространства ; координаты вектора в этом базисе; разложение вектора по базису; размерность пространства .
5.28. Дайте определения линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.
5.29. Являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми следующие системы векторов: а) два коллинеарных вектора; б) два неколлинеарных вектора; в) три компланарных вектора; г) три некомпланарных вектора; д) четыре некомпланарых вектора; е) базисы пространств 
?
5.30. Пусть известны координаты векторов и 
в некотором базисе. Как найти координаты вектора 
?
5.31. Пусть известны координаты вектора в некотором базисе и число 
. Как найти координаты вектора 
?
5.32. Пусть в некотором базисе заданы векторы 
и 
. Найдите координаты вектора 
.
5.33. Как, зная координаты двух векторов в некотором базисе, определить, являются ли эти векторы коллинеарными? Коллинеарны ли векторы:
а) 
и 
; б) 
и 
5.34. Пусть в некотором базисе 
, 
, 
. Определите, образуют ли векторы 
и базис в пространстве . Если да, то разложите вектор 
по этому базису.
5.35. Что такое прямоугольный (ортонормированный) базис?
5.36. Запишите координаты вектора 
. Пусть в ортонормированном базисе 
. Запишите разложение вектора по этому базису.
5.37. Запишите координаты векторов 
, 
и 
.
5.38. Пусть , и - векторы из задания 5.32. Найдите координаты вектора 
5.39. Как «устроена» прямоугольная декартова система координат? Как определяются координаты точки в этой системе координат? Укажите вектор, координаты которого совпадают с декатровыми координатами точки 
.
5.40. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат 
, 
, а точка 
- начало координат. Найдите координаты векторов 
, 
и 
5.41. Как найти координаты вектора по координатам его начала и конца?
5.42. Даны координаты вершин треугольника: 
, 
, 
. Найдите координаты векторов , 
и 
.
5.43. Известны координаты трех вершин параллелограмма: 
, 
, и 
. Найдите координаты четвертой вершины 
и координаты векторов , 
, 
.
5.44. Пусть 
- точки в пространстве, точка 
- середина отрезка 
. Выразите вектор 
, где через векторы и .
5.45. Пусть и 
- отрезки в пространстве, а точки и 
- их середины соответственно. Выразите вектор 
через векторы и 
.
5.46. Пусть - точки в пространстве, а точка делит отрезок в отношении 
, считая от точки 
. Выразите вектор , где через векторы и .
5.47. Пусть - середина отрезка . Выразите координаты 
точки через координаты точек и 
.
5.48. Пусть точка делит отрезок в отношении , считая от точки . Выразите координаты точки через координаты точек и .
5.49. - точка пресечения медиан треугольника 
, - произвольная точка пространства. Выразите вектор через векторы , и 
.
5.50. Задан тетраэдр 
. В базисе из ребер , и найти координаты:
а) вектора 
, где и 
- середины ребер 
и 
;
б) вектора 
, где 
- точка пересечения медиан основания
