Тема 2.2. Линейные пространства

Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство R³. Геометрический смысл пространств R² и R³. Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Ранг системы векторов и ранг матрицы. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного пространства. Скалярное произведение векторов в R³. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в R³. Ортогональный и ортонормированный базисы в R³. Координаты вектора в ортогональном базисе.

Тема 2.3. Линейные преобразования и квадратичные формы

Линейные преобразования пространства R³. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Модуль 3. Элементы аналитической геометрии

Тема 3.1. Прямая в R² и R³. Плоскость в R³

Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Тема 3.2. Кривые второго порядка

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.