Фильтр Баттерворта

Настройка системы управления на фильтр Баттерворта, или на модульный (технический, амплитудный) оптимум заключается в выполнении следующих требований к форме амплитудной частотной характеристики замкнутой системы:

· АЧХ в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равной единице;

· наклонный участок характеристики должен быть как можно более крутопадающим.

Тогда при отсутствии помехи на входе, система будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие и подавлять возмущение .

Другими словами, критерий модульного оптимума (МО) требует, чтобы настраиваемая система приближалась по свои частотным характеристикам к идеальному фильтру низких частот, имеющему прямоугольную форму.

Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет фильтр Баттерворта, у которого АЧХ имеет вид:

(38)

На практике обычно используют фильтры с порядком .

Нетрудно убедиться, что частным случаем фильтра Баттерворта является колебательное звено к коэффициентом демпфирования :

(39)

При настройке систем порядка (п > 2) по критерию МО передаточную функцию замкнутой системы по каналу задания приводят к нормированному виду:

, (40)

где - оператор Лапласа, соответствующий относительному времени ; - коэффициент масштабирования, который определяется по формуле:

(41)

Нетрудно понять, что .

То есть в фильтре Баттерворта степенью быстродействия является или , или . Время переходного процесса в системах, настроенных на фильтр Баттерворта определяется как:

(42)

Коэффициенты нормированного полинома (40) определяются по формулам:

(43)

(43)

Чтобы обеспечить желаемую форму АЧХ, близкую к прямоугольной форме, коэффициенты выбирают в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта

	1,40
	2,00	2,00
	2,61	3,41	2,61
	3,24	5,24	5,24	3,24
	3,86	7,46	9,13	7,46	3,86
	4,50	10,10	14,60	14,60	10,10	4,50
	5,12	13,10	31,80	25,70	21,80	13,10	5,12

и .

ПРИМЕР

Дано:

Определить

РЕШЕНИЕ