Двойной интеграл в полярных координатах

-полярный радиус

-полярный угол

Считая находим Якобиан

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат, так же как и в декартовой, сводится к последовательному интегрированию по переменным и . Укажем правила расстановки пределов.

1. Пусть полюс не содержится внутри области интегрирования D, заключённой между лучами и , и координатные линии встречают её границу не более чем в двух точках или второй вид, также изображённый на рисунке.

Полярные уравнения кривых ADC и ABC пусть будут и .

Интегрируя сначала по в пределах его изменения при постоянном , т.е. от до , а затем по от до , получим

Интегрирование в обратном порядке, т.е. сначала по , а потом по , обычно не встречается.

В частном случае, когда областью интегрирования служит часть кругового кольца пределы интегрирования постоянны по обеим переменным:

2. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования и любой полярный адрес пересекает границу в одной точке (так называемая звёздная относительно полюса область). Интегрируя сначала по , а затем по , получим

где есть полярное уравнение границы области.

В частности, при , т.е. когда область интегрирования есть круг с центром в полюсе, будем иметь,

Пример:

Приложение двойного интеграла в задачах геометрии и механики

1.Вычисление объема

Объем криволинейного цилиндра, ограниченного поверхностью , снизу плоскостью и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, направляющая для которой граница области , а образующие параллельны оси , равна двойному интегралу:

т.е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объёмы тел.

Пример:

Имеем

где D-треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми

Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

Если тело, объём которого ищется, ограничено сверху поверхностью , а снизу поверхностью , причём проекцией обеих поверхностей на плоскость является область , то объем тела равен разности объемов двух цилиндрических тел: первого, ограниченного поверхностью с основанием , второго с тем же основанием.

Формула верна не только тогда, когда и неотрицательны, но и тогда, когда и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению .

Если в области функция меняет знак, то разбиваем область на две части: ,в которой и , где . Предположим, что существуют двойные интегралы по и . Интеграл по области положителен и равен объему тела, расположенного над плоскостью . Интеграл по области отрицателен и равен по абсолютной величине объему тела, расположенного под плоскостью .Таким образом, интеграл по области выражает разность соответствующих объемов.

2.Вычисление площади плоской области

Площадь S области D может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула, выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла, так как она применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.

Пример: Вычислить площадь области D, ограниченной линиями .

Область D представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой справа прямой . Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: M₁(3;-2), M₂(0;1). Следовательно, искомая площадь

При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является расстановка пределов интегрирования. Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все прямые, параллельные оси Oy, входят в область интегрирования D на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целесообразно брать по переменной y, а внешний – по x; аналогично, если все прямые, параллельные оси Ox, входят в область интегрирования на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по переменной x, а внешний – по y; в этом случае область интегрирования не нужно разбивать на части.

2.Вычисление площади поверхности

Площадь поверхности: , где -непрерывна и имеет частные производные в области , в которую проектируется поверхность, может быть вычислена по формуле:

Если уравнение поверхности и выполняются аналогичные условия для функции в области , то площадь поверхности

Если уравнение поверхности и выполнены условия для функции в области , то площадь поверхности

Пример:

Вычислить площадь поверхности сферы, если центр сферы в начале координат.

Уравнение верхней полусферы: .

Границы: ,

1.Вычисление массы пластинки

Плотность распределения вещества.

Пусть в области D распределено некоторое вещество, рассмотрим участок в этой области, масса этого участка

- средняя плотность

Этот предел называется поверхностной плотностью в точке и зависит от координат этой точки. Будем считать эту плотность известной.

Рассмотрим материальную пластинку, т.е. некоторую область D, по которой распределена масса m с плотностью . Вычислим массу этой пластинки, считая, что - непрерывная функция. Для этого разобьем область D на участки и возьмем по точке

Общее значение массы пластинки:

Пример: Определить массу квадратной пластинки со стороной , если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от точки M до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.

Решение: Выберем систему координат так, как показано на рисунке

Пусть - произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки M до точки пересечения диагоналей . Следовательно, плотность в точке M

По формуле имеем

Учитывая, что подынтегральная функция чётна относительно x и y, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области D, которая расположена в I четверти, т.е.

2.Момент инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки M, массы m, относительно некоторой точки O называется произведение массы на квадрат расстояния.

Пусть дана система материальных точек с массами . Тогда момент инерции системы материальных точек находится по формуле:

Рассмотрим плоскую фигуру D, которая располагается в плоскости Oxy, и найдем ее момент инерции относительно начала координат; будем считать поверхностную плотность равной единице. Разобьем эту фигуру на участки , на каждом участке возьмем точку , и так как поверхностная плотность равна единице, масса площадки равна (ее площади). Назовём элементарным моментом инерции площадки величину равную . Момент инерции всей фигуры D относительно начала координат или полярный момент инерции:

Интегралы

Называются соответственно моментами инерции фигуры D относительно осей Ox и Oy.

Отметим ещё, что интеграл называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

Пример:

Вычислить момент инерции круга радиуса R относительно его центра.

Если поверхностная плотность не равна единице, а является некоторой функцией

3.Координаты центра масс пластинки

Координаты центра масс системы материальных точек с массами определяются по формулам:

Будем считать поверхностную плотность равной единице. Определим координаты центра масс пластинки, занимающей область D. D разобьём на части . Если поверхностная плотность равна единице, то масса площадки будет равна её площади. Если приближённо считать, что вся масса площадки сосредоточена в какой-либо её точке , то можно рассматривать пластинку как систему материальных точек. Тогда

Перейдем к пределу, устремив

Если поверхностная плотность постоянна, то координаты центра масс находятся по тем же формулам.

Пусть поверхностная плотность , тогда формулы для координат центра масс:

- величина массы рассматриваемой пластинки.

4.Статические моменты плоской фигуры

Статические моменты пластинкиотносительно осей Oy и Ox

Пример: Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами и .

Сначала вычислим массу пластинки

Далее вычислим статические моменты её относительно осей координат:

Затем формулам найдём координаты центра масс

Итак, .