Смешанное произведение трёх векторов

Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида , где векторное произведение первых двух векторов умножается скалярно на третий вектор. Обозначается

.

Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком «+», если тройка правая, со знаком «» если тройка левая.

Если векторы компланарные, то .

Смешанное произведение в ПДСК

Если известны координаты векторов , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле

.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен

.

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах равен

.

Задача 52. Даны вершины треугольной пирамиды , , , . Найти длину её высоты , которая опущена на грань (Рис. 8).

Решение. Рассмотрим векторы , , , на которых построена треугольная пирамида . Найдём их координаты:

, , .

Из школьного курса геометрии известна формула объёма пирамиды:

.

В основании лежит треугольник , его площадь

.

Следовательно,

.

С другой стороны,

.

Тогда

.

Вычислим смешанное произведение:

.

Вычислим векторное произведение:

.

Далее, найдём модуль этого векторного произведения:

.

Тогда высота пирамиды

.