Основные уравнения электростатики. Потенциал. Связь между напряженностью поля и потенциалом

Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение.
Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле.
Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной. За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора.
- следствие принципа суперпозиции полей (потенциалы складываются алгебраически).
Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. В СИ потенциал измеряется в вольтах:
Разность потенциалов

Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат!
Единица разности потенциалов Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж.
Связь между напряженностью и напряжением .
Из доказанного выше: → напряженность равна градиенту потенциала (скорости изменения потенциала вдоль направления d).
Из этого соотношения видно: 1. Вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала. 2. Электрическое поле существует, если существует разность потенциалов. 3. Единица напряженности: - Напряженность поля равна 1 В/м, если между двумя точками поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга существует разность потенциалов 1 В.
Эквипотенциальные поверхности. ЭПП - поверхности равного потенциала. Свойства ЭПП: - работа при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не совершается; - вектор напряженности перпендикулярен к ЭПП в каждой ее точке.

Измерение электрического напряжения (разности потенциалов) Между стержнем и корпусом — электрическое поле. Измерение потенциала кондуктора Измерение напряжения на гальваническом элементе Электрометр дает большую точность, чем вольтметр.
Потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал заряженного шара а) Внутри шараЕ=0, следовательно, потенциалы во всех точках внутри заряженного металлического шара одинаковы (!!!) и равны потенциалу на поверхности шара. б) Снаружи поле шара убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара, как и в случае точечного заряда.
Перераспределение зарядов при контакте заряженных проводников. Переход зарядов происходит до тех пор, пока потенциалы контактирующих тел не станут равными.

Основные уравнения электростатики и их общее решение в бесконечном пространстве.

Уравнения электростатики получаются, если в общих уравнениях Максвелла частные производные по времени и плотность тока положить равными нулю:

Первое уравнение позволяет ввести потенциал

Тогда второе уравнение дает уравнение

которое называется уравнением Пуассона.

Фундаментальное значение имеет уравнение для потенциала точечного заряда

где -дельта функция. Прямой проверкой показывается, что его решение есть

Это решение называется фундаментальным и позволяет написать общий вид решения уравнения Пуассона для произвольной плотности

Первый интеграл описывает вклад объемного заряда с плотностью и называется ньютоновским потенциалом. Второй интеграл описывает вклад поверхностных зарядов с плотностью и называется поверхностным потенциалом.

Используя связь потенциала и напряженности поля, получаем уравнение

Две последние формулы дают решение прямой задачи электростатики в бесконечном пространстве (определение поля по распределению заряда).

13. Прямые задачи электростатики в ограниченном пространстве.

Если пространство ограничено, то для определения единственного решения уравнения Пуассона необходимо указать граничное условие. Различают две задачи.

Задача Дирихле (на границе задан потенциал)

где -область, в которой поставлена задача, а -ее граница.

Задача Неймана (на границе задана нормальная производная потенциала)

Обе задачи имеют единственное решение.

14. Мультипольное разложение.

На расстояниях от системы точечных зарядов , много больших размеров системы, потенциал можно представить в виде сумму (разлагая в ряд Тейлора по малым ):

где

( -полный заряд или мультиполь нулевого порядка),

( -дипольный момент или мультиполь первого порядка),

( -квадрупольный момент или мультиполь второго порядка).

15. Некоторые методы решения задач электростатики.

Метод изображений.

Пусть сформулирована задача электростатики, в которой на некоторой поверхности задан постоянный потенциал. Тогда к реально существующим зарядам добавляются заряды изображения, величина которых и расположение подбираются так, чтобы в новой задачи указанная поверхность имела заданный потенциал. Примеры отражение в плоскости, отражение в сфере и так далее.

Метод инверсии.

К методу изображений близок метод инверсии, который основан на математической теореме об инверсии. Пусть есть потенциал системы зарядов расположенных в точках со сферическими координатами . Тогда