Окружность радиуса R с центром в начале координат:
Уравнение касательной к окружности в произвольной точке
Параметрические уравнения:
Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):
Эллипс (рис. 4.14)
Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (a > c). Эллипс - множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек и равна 2a. Точки и называются фокусами эллипса; - большая ось; - малая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы;
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Фокальные радиусы:
Фокальный параметр:
Уравнения директрис:
Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки эллипса; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.
Уравнение касательной в точке
Свойство касательной к эллипсу:
Уравнение нормали в точке
Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):
Параметрические уравнения эллипса:
Полярное уравнение:
Площадь, ограниченная эллипсом:
|
|
Гипербола (рис. 4.15)
Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0 < a < c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек и равен 2a. Точки и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Фокальные радиусы:
для правой ветви
для левой ветви
Фокальный параметр:
Уравнения директрис:
Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки гиперболы; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.
Уравнение касательной в точке
Свойство касательной к гиперболе:
Уравнение нормали в точке
Уравнения асимптот:
Уравнение гиперболы, сопряженной данной
Уравнение равносторонней гиперболы:
каноническое
отнесенное к осям как к асимптотам:
Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):
Параметрические уравнения гиперболы:
Полярное уравнение:
Парабола (рис. 4.16)
Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Фокальный радиус:
Уравнение директрисы:
Уравнение касательной в точке
Свойство касательной к параболе: (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).
Уравнение нормали в точке
|
|
Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.
Параметрические уравнения параболы:
Полярное уравнение:
Другие формы канонического уравнения (рис. 4.17):
Общие уравнения линий второй степени
Общее уравнение
определяет одну из следующих линий:
Инварианты общего уравнения линий второй степени
Инварианты по отношению к преобразованию одной декартовой прямоугольной системы в другую: