Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Затухающие свободные колебания физической величины s описываются дифференциальным уравнением вида: . Постоянная величина β называется коэффициентом затухания. Круговая частота ω0 характеризует свободные колебания той же колебательной системы без затухания и называется частотой собственных колебаний системы.

S(t)= , где u (t) – неизвестная вещественная функция. Тогда исходное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение вида

. В зависимости от начальных условий полученное уравнение имеет решение вида U=

Тогда затухающие колебания величины s описываются функциональными зависимостями типа: S= . Неотрицательная величина A 0 является начальной амплитудой затухающих колебаний, величина ϕ0 – начальной фазой этих колебаний. Частота ω, которая называется частотой затухающих колебаний, всегда меньше частоты собственных колебаний ω0. Функция описывает изменение амплитуды свободных колебаний со временем и называется амплитудой затухающих колебаний. Амплитуда затухающих колебаний убы-вает со временем по экспоненциальному закону (рис).

Период затухающих колебаний равен

Для количественной характеристики скорости убывания амплитуды затухающих колебаний вводят понятие декремента затухания. Декрементом затухания называется отношение амплитуды затухающих колебаний в некоторый момент времени t к амплитуде тех же колебаний на период позже t + T:

Натуральный логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания: .

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина , называемая добротностью колебательной системы.

Из соотношения следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При корни характеристического уравнения становятся вещественными и решение дифференциального уравнения оказывается равным сумме двух экспонент: