2015-08-13
4361
Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.
Затухающие свободные колебания физической величины s описываются дифференциальным уравнением вида: 
. Постоянная величина β называется коэффициентом затухания. Круговая частота ω0 характеризует свободные колебания той же колебательной системы без затухания и называется частотой собственных колебаний системы.
S(t)= 
, где u (t) – неизвестная вещественная функция. Тогда исходное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение вида
. В зависимости от начальных условий полученное уравнение имеет решение вида U= 
Тогда затухающие колебания величины s описываются функциональными зависимостями типа: S= 
. Неотрицательная величина A 0 является начальной амплитудой затухающих колебаний, величина ϕ0 – начальной фазой этих колебаний. Частота ω, которая называется частотой затухающих колебаний, всегда меньше частоты собственных колебаний ω0. Функция 
описывает изменение амплитуды свободных колебаний со временем и называется амплитудой затухающих колебаний. Амплитуда затухающих колебаний убы-вает со временем по экспоненциальному закону (рис).
|
|
|
Период затухающих колебаний равен
Для количественной характеристики скорости убывания амплитуды затухающих колебаний вводят понятие декремента затухания. Декрементом затухания называется отношение амплитуды затухающих колебаний в некоторый момент времени t к амплитуде тех же колебаний на период позже t + T: 
Натуральный логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания: 
.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина 
, называемая добротностью колебательной системы.
Из соотношения 
следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При 
период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При 
корни характеристического уравнения становятся вещественными и решение дифференциального уравнения оказывается равным сумме двух экспонент:
