2015-08-13
4257
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы).
Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.
Рассмотрим вынужденные колебания на примере реального (с трением) пружинного маятника. Будем отталкиваться от. При наличии дополнительной вынуждающей силы F (t) необходимо дописать ее в правую часть уравнения. В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:
Для пружинного маятника:
и 
Для того, чтобы возникли периодические колебания, вынуждающая сила сама должна быть периодической. Для нахождения уравнения установившихся колебаний необходимо найти решение дифференциального уравнения:
при 
.
Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного. Искомым решением будет являться:
где А - амплитуда вынужденных колебаний, j ۪ - сдвиг фаз между смещением и приложенной силой.
|
|
|
Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:
здесь w0 - частота свободных (незатухающих) колебаний маятника; b - коэффициент затухания.
Максимальное значение амплитуды получается, если 
Частота 
называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса. График зависимости А (W) носит название резонансной кривой.
Помимо поведения амплитуды при резонансной частоте рассмотрим ещё два предельных случая: 
и 
В первом мы получим обычное статическое смещение маятника под действием постоянной силы F0 (статическое растяжение пружины):
Во втором случае амплитуда равна нулю: инерция маятника не может успевать реагировать на бесконечную частоту.
Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой обусловлен инерцией маятника.
