Проверка гипотез о законе распределения и однородности выборок

Для установления теоретического закона распределения случайной величины Х по опытным данным (эмпирическому распределению) необходимо определить вид и параметры закона распределения. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу H₀ о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы H₀ выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределения. Зная закон распределения U, можно найти такое критическое ее значение u_кр, что вероятность мала. Поэтому, если наблюдаемое значение , гипотезу H₀ отвергают, в противном случае H₀ принимают.

С помощью критерия согласия (Пирсона) можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве критерия выбирается случайная величина

,

имеющая закон распределения χ ² с числом степеней свободы k = m – 1 – r, где m – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ ².

Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения = п ∙ Р_i, где п – объем выборки, x_i и x_{i + 1} – левая и правая границы i -го интервала, - выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3;

б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра λ принимается . Тогда теоретические частоты = п ∙ Р_i, . Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n – 2;

в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные

значения Х, оцениваются по формулам:

Тогда плотность вероятности

Число степеней свободы k = n – 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами.

Пример.

Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид

проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о:

а) показательном; б) равномерном; в) нормальном

законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона.

Решение.

Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х ₁ = 3,5, х ₂ = 6,5,…, х ₆ = 18,5.

Найдем = 11,43; σ_В = 4,03; s = 4,05.

а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном распределении генеральной совокупности при

аналогично Наблюдаемое значение критерия Критическая точка χ ²(0,05;4)=9,5; и гипотеза о показательном распределении отклоняется.

б) Для равномерного распределения

теоретические частоты: Наблюдаемое значение критерия Критическая точка и гипотеза о равномерном распределении отклоняется.

в) Теоретические частоты для нормального распределения:

Так же вычисляются Наблюдаемое значение критерия Критическая точка Поскольку гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.