Если некоторый столбец (или строка) состоит из нулей, то определитель равен 0

Задания для самостоятельной работы

1. . Найти .

2. . Найти .

3. . Найти .

4. . Можно ли данные матрицы сложить, умножить?

5. Найти линейную комбинацию матриц 2А+3В, где

. Ответ:

6. Дано . Найти произведение АВ и ВА.

Ответ: ; ВА – не существует.

7. Найти произведение матриц АА^Т и А^ТА.

Ответ: , .

8. Вычислить определители данных матриц.

а) б)

в) г)

9. Вычислить определители:

а) б) в)

Ответ: а) -3; б) 2; в) 63.

10. № 586 - № 593, № 596, № 597. [6]

11. № 1204, № 1211- № 1216, №1252-1255. [5]

Рекомендуемая литература: [7] стр. 16-22, [4] стр. 60-64.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема: Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Обратная матрица

Пусть А квадратная матрица n –го порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю (Δ≠0). В противном случае (Δ=0) матрица называется вырожденной.

Присоединенной матрицей к матрице А, называется матрица

, где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы А.

А^* получается транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений А_ij к элементам а_ij (А^*=(А_ij)^Т).

Квадратная матрицаА^-1 называется обратной по отношению к матрице А того же порядка, если выполняется условие АА^-1 = А^-1А = Е.

Обратная матрица определяется по формуле .

Алгоритм вычисления элементов обратной матрицы А^-1 таков:

1. Вычисляем определитель матрицы А, ΔА≠0.

2. Вычисляем алгебраическое дополнение к каждому элементу матрицы А.

3. Составляем матрицу из алгебраических дополнений (А_ij).

4. Транспонировав полученную матрицу, получаем присоединенную матрицу А^*= (А_ij) ^Т.

5. Все элементы матрицы А^* делим на величину определителя матрицы А.

Пример. Найти матрицу, обратную заданной матрице А:

;

Вычислим алгебраические дополнения:

Составляем присоединенную матрицу и находим обратную:

; .

Проверку правильности нахождения обратной матрицы легко выполнить, учитывая, что произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу, т.е. АА^-1 = А^-1А = Е.

Проверка:

Замечание. Нахождение обратной матрицы второго порядка (и только второго порядка) можно выполнить следующим простым способом:

1) найти определитель исходной матрицы А;

2) в исходной матрице А поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали, изменить знаки на противоположные у элементов побочной диагонали, т.е. получить присоединенную матрицу.

3) Разделить элементы присоединенной матрицы на величину определителя.

Например, если , то и .