Контрольная работа №3 «Комплексные числа. Базис. Линейные операторы. Действия над операторами. Квадратичные формы»

1. Даны четыре вектора и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в новом базисе.

2. Найти сумму, разность и произведение комплексных чисел z1 =-5+2i и z2=1+i.

3. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы А.

4. Привести квадратичную форму к каноническому виду.

Критерии выставления баллов за контрольную работу в соответствии с балльно-рейтинговой системой приведены в следующей таблице. Полнота и правильность решений оценивается с точки зрения применения полученных знаний и математических методов к решениям конкретных задач, на основе знаний, умений и навыков, полученных на лекционных, практических занятиях и при выполнении самостоятельной работы по данному модулю.

Кол-во баллов	Критерии оценки контрольных работ №1-2	Формируемые компетенции
15-13 баллов	Даны полные и правильные решения на 85-100% задач контрольной работы. Студент показывает умение правильно применять математический аппарат и знания к конкретным ключевым задачам, демонстрирует сформированность всех компетенций.	ПК-4
13-9 баллов	Даны правильные решения на 70-84% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или несущественные ошибки. Студент показывает умение применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует наличие основных компетенций.	ПК-4
9-5 баллов	Даны правильные решения на 50-69% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или существенные ошибки. Студент показывает недостаточные умения применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует некоторое наличие компетенции ПК-4	ПК-4
5-3 баллов	Правильно выполнены только 30-49% задач контрольной работы. Студент допускает грубые, существенные ошибки при решениях задач.	ПК-4
2-0 баллов	Решены правильно менее 30% задач контрольной работы. Либо студент присутствовал на контрольной работе, но не сдал ее преподавателю.	__

Кол-во баллов	Критерии оценки контрольной работы №3	Формируемые компетенции
10-9 баллов	Даны полные и правильные решения на 85-100% задач контрольной работы. Студент показывает умение правильно применять математический аппарат и знания к конкретным ключевым задачам, демонстрирует сформированность всех компетенций.	ПК-4
9-7 баллов	Даны правильные решения на 70-84% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или несущественные ошибки. Студент показывает умение применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует наличие основных компетенций.	ПК-4
7-5 баллов	Даны правильные решения на 50-69% задач контрольной работы. В остальных задачах есть недочеты или существенные ошибки. Студент показывает недостаточные умения применять математический аппарат к конкретным ключевым задачам, демонстрирует некоторое наличие компетенции ПК-4	ПК-4
5-3 баллов	Правильно выполнены только 30-49% задач контрольной работы. Студент допускает грубые, существенные ошибки при решениях задач.	ПК-4
2-0 баллов	Решены правильно менее 30% задач контрольной работы. Либо студент присутствовал на контрольной работе, но не сдал ее преподавателю.	__

Вопросы к экзамену

Курс, 1 семестр

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

2. Определитель квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы.

6. Системы линейных уравнений. Метод Крамера.

7. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса.

8. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

9. Обратная матрица. Второй метод вычисления обратной матрицы.

10. Векторы. Основные понятия. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства.

11. Основные задачи в координатах. Скалярное произведение векторов и его свойства.

12. Векторное произведение векторов, свойства.

13. Смешанное произведение векторов, свойства.

14. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

15. Основные задачи с прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Различные виды уравнения плоскости в пространстве.

17. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

18. Уравнения прямой в пространстве.

19. Кривые второго порядка. Окружность.

20. Кривые второго порядка. Эллипс.

21. Кривые второго порядка. Гипербола.

22. Кривые второго порядка. Парабола.

23. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

24. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа.

25. Основные формулы для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

26. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Свойства векторов линейного пространства.

27. Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, свойства.

28. Переход к новому базису. Матрица перехода от базиса к базису.

29. Линейный оператор и его свойства. Образ и прообраз. Матрица линейного преобразования в базисе.

30. Линейный оператор и его свойства. Сумма двух линейных операторов. Произведение линейного оператора на число.

31. Собственные значения (собственные числа) и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен оператора.

32. Основные свойства собственных чисел.

33. Квадратичные формы.