Два одинаковых положительных заряда. Примеры решения задач

1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мкКл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке О, находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке А, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов (рис. 4).

Дано Q₁=Q₂=10^-7Кл, ε=1, r₀=0,08м, r₁=0,05м

Найти: Ео, Е_А.

Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: Е=Е₁+Е₂ (1). Напряженность электрического поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется по формуле.

Чтобы найти напряженность поля в точке О, надо сначала построить векторы напряженностей. Так как заряды Q₁ и Q₂ положительные, векторы E₁ и Е₂ направлены от точки О в сторону от зарядов, создающих это поле (см. рис. 4). Кроме того, по условию задачи заряды равны и расположены на одинаковом расстоянии от точки О Поэтому с учетом направления векторов из формулы (1) получаем E₀=E_1,0-E_2,0 но так E_1,0=E_2,0, то Е₀=0.

В точке А напряженность поля вычисляется по формуле (1); построение векторов проводится аналогично. Результирующий вектор напряженности Е_А является диагональю параллелограмма (см. рис. 4), следовательно, Е_А=E₁+Е₂ или Е_А=2Е₁сosα, так как Е₁=Е₂. Из рис. 4 имеем . Напряженность поля в точке А определяем по формуле

(3)

Подставив в (3) числовые значения, получим

Ответ: E₀=0, E_A=432 кВ/м

2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С=1 нФ, расстояние между обкладками 4 мм. На помещенный между обкладками конденсатора Q=4,9 нКл действует сила F=98 мкН. Площадь обкладки 100 см². Определить: напряженность поля и разность потенциалов между обкладками, энергию поля конденсаторов и объемную плотность энергии.

Дано:

F=9,8^.10^-5H, Q=4,9^.10^-9Кл, C=10^-9Ф, S=10^-2м², d=4^.10^-3м, ε=1, ε₀=8,85^.10^-12Ф/м

Найти: E, U, WЭ,ω.

Решение. Поле между обкладками конденсатора считаем однородным. Напряженность поля конденсатора определяется из выражения'. E=F/Q, где F - сила, с которой поле действует на заряд Q, помещенный между обкладками конденсатора.

Подставив числовые значения, найдём

Е=9,8^.10^-5Н/4,9^.10^-9Кл=2^.10⁴В/м=20кВ/м

Разность потенциалов между обкладками U=Ed. Подставив числовые значения, получим

U=2^.10^-4В/м^.4^.10^-3м=80В

Энергии поля конденсатора

Подставив в числовые значения, получим

Плотность энергии - объем поля конденсатора; находи

Ответ: , U=80В, Е=20кВ/м,

3. Найти, как изменятся электроемкость и энергия плоского воздушного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конден­сатора и пластины 150 см², расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

Дано: ε=1, d₀=10^-3м, S=150см²=15^.10^-3м², d=6^.10^-3м

Найти

Решение. Емкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесении металлической пластины уменьшается расстояние между пластинами от d до (d-do) (рис. 5). Используем формулу электроёмкости плоского конденсатора

(1), где S —площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. В данном случае получим, что изменение электроемкости конденсатора равно

Подставив числовые значения, получим

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна , (2) где Е — напряженность поля между обкладками конденсатора. При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на Следовательно, изменение энергии (конечное значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора:

(3)

Напряженность поля Е определяется через градиент потенциала: E=-U/d, (4) где U — разность потенциалов; d — расстояние между обкладками. Формула (3) с учетом (4) принимает вид:

(5)

Подставляя числовые значения в формулу (5), получаем

Ответ: ,

4. Сила тока в резисторе линейно нарастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3c.

Дано: t₀=0, t₁=4с, I=0, I₁=8A, t₂=3с.

Найти Q.

Решение. По закону Джоуля—Ленца dQ=I²Rdt (1) Так как сила тока является функцией времени, то I=kt, (2) где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени:

Следовательно, . За первые три секунды выделиться количество теплоты

(3)

Подставляя числовые значения в формулу (3), получим

Q=4A²/c^2.10Ом^.27с³/3=360Дж

Ответ: Q=360 Дж.

5. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи:

Дано: ε_i=1,4В, r_i=0,3 Ом, P_п=8Вт, n=5

Найти: I, P_{п мах}

Решение: Полезная мощность батареи P_п=I₂R, (1) где R – сопротивление внешней цепи, I- сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону

Ома: (2).

Здесь n,ε_i- ЭДС, а nr_i, - — внутреннее сопротивление n последовательно соединенных элементов.

Выразим R из (1): R=Pп/I² и, подставив это выражение в (2), получим

(3) или

(4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

Решая квадратное уравнение, найдем

Подставляя числовые значения, получим

Для того чтобы определить наибольшую полезную мощность батареи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):

(5)

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах и , мощность является функцией одной переменной - внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если dP_п/dR=0, следовательно, имеем

(6)

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует R=nr_i. Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем

Производя вычисления, найдем

Ответ: , ,

6. Определить концентрацию дырок в полупроводнике германия при такой температуре, когда его удельное сопротивление равно 0,5 Oм·м если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0.40 и 0,20 м²/(В·с).

Дано: ρ=0,5 Oм·м, b_n=0,4м^2.В^-1.с^-1, b_p=0,2 м^2.В^-1.с^-1

Найти n.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников равна

(1)

где b_n и b_р — подвижности электронов и дырок соответственно; е — заряд электрона; n — концентрация свободных электронов, т. е. число их в единице объема. В собственном полупроводнике концентрация дырок равна концентрации свободных электронов.

Учитывая, что удельная проводимость и удельное сопротивление связаны между собой зависимостью (2) имеем 1/ρ =еn(b_n+b_р). (3) Определим концентрацию дырок

Подставив числовые значения величин, найдем

Ответ:

7. Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при напряженности поля 30 В/м плотность тока j=1,6^.10^-6А/м²? Подвижности ионов b₊=1,4^.10^-4м²/(В^.с), b_-=1,2^.10^-4м²/(В^.с)

Дано: E=30В/м, j=1,6^.10^-6А/м², b₊=1,4^.10^-4м²/(В^.с), b_-=1,2^.10^-4м²/(В^.с)

Найти n.

Решение. Плотность тока в газе при отсутствии насыщения

где n - концентрация ионов, т. е. число ионов одного знака в единице объема; b_+, b_- - подвижности положительных и отрицательных ионов; Е- напряженность электрического поля в Газе; Q - абсолютное значение заряда каждого иона. По условию задачи следует определить концентрацию одновалентных ионов, находящихся в воздухе, т. е. Q = e (е — заряд электрона), тогда

(2) j=en(b₊+b_-)E

Из выражения (2) определим n:

n=j/(eE(b₊+b_-))

Подставив числовые значения, найдем

n=

Ответ: n=