2015-10-22
6658
О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат в пространстве (аффинным репером) называется точка и три некомпланарных вектора: 
.
Прямые 
, 
, 
, определяемые точкой 
и векторами 
называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат 
, определяемая точкой 
и ортогональными ортами 
.
О п р е д е л е н и е. Вектор 
называется радиус-вектором точки 
.
О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора:
.
У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере в пространстве.
Аналогично тому, как это делалось на плоскости, с помощью координат решаются простейшие задачи
- Определение координат вектора по координатам начала и конца в аффинной системе координат.
- Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них в аффинной системе координат.
- Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .
Задавая в пространстве аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными тройками действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.
|
|
|
Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные тройки действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.
Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.
Через данную точку 
проходит единственная плоскость 
, параллельная двум данным неколлинеарным векторам 
и 
.
Пусть в пространстве задан аффинный репер и 
, 
. Точка 
принадлежит плоскости 
тогда и только тогда, когда векторы 
компланарны, то есть вектор 
можно выразить через векторы 
и 
:
.
Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты 
точки, принадлежащей плоскости:
– параметрические уравнения плоскости.
Условием компланарности векторов 
является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
– общее уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости приводится к виду
, где 
.
Пусть плоскость 
пересекает все три оси координат в точках 
. Имеем два неколлинеарных вектора 
и 
, параллельных плоскости 
. Тогда получаем уравнение плоскости
или 
– уравнение плоскости в отрезках.
Через данную точку проходит единственная плоскость 
, перпендикулярная данному ненулевому вектору 
. Вектор 
, как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором плоскости.
|
|
|
Точка 
принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы 
и 
ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы выразить условие ортогональности векторов через координаты, необходим ортонормированный базис, а значит, в пространстве должна быть задана прямоугольная система координат 
. Пусть 
, 
. Выразив условие ортогональности векторов и 
через координаты, получим уравнение плоскости 
: 
.
Выводы:
1. Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать точку и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости, либо точку и нормальный вектор.
2. Уравнение плоскости приводится к виду
, где 
,
то есть плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.
Т е о р е м а. Любая алгебраическая поверхность первого порядка является плоскостью.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической поверхности первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой поверхность задается уравнением 
, где 
.
Пусть 
. Приведя уравнение поверхности к виду 
, получим равносильное уравнение
.
Это есть уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
