2015-10-22
2209
При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.
Пусть дана квадратная матрица 
n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число 
определитель умножается на число 
.
Рассмотрим теперь определитель матрицы 
, элементы которой 
получены из соответствующих элементов матрицы прибавлением числа 
Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей
То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму 
определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных 
, равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только 
слагаемых: определитель матрицы и 
определителей вида
отличающихся от определителя матрицы только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на
|
|
|
Следовательно, сумма всех таких определителей 
равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы , умноженной на
Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число , определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число
Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка
Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы
Искомый определитель 
получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы числа . Поэтому
Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:
Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы . Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю (
при 
, так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.
Поэтому
