Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём наблюдалось раз, - раз, и т.д. раз и - объём выборки.

Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объёму выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Следует отметить, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.

Пусть - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее - объём выборки. Относительная частота события равна. Если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота есть функция от. Так как эта функция находится опытным путём, то её называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события. Итак

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Функция обладает следующими свойствами:

• значения функции принадлежат отрезку;

• - неубывающая функция;

• если - наименьшая варианта, то при; если - наибольшая варианта, то при.

Пример 1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

1 4 6

10 15 25

Р е ш е н и е.. Наименьшая варианта равна 1, поэтому при. Значение, а именно, наблюдалось 10 раз, значит, при. Значение, а именно: и, наблюдалось 10+15=25 раз; следовательно, при. Так как - наибольшая варианта, то при.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки,,...,.

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длиной и находят - сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины, а высоты равны отношению. Площадь частичного -го прямоугольника равна - сумме частот вариант, попавших в -ый интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною (плотность относительной частоты).

На рис. 3 изображена гистограмма частот по данному распределению выборки объёма.