Примеры решения задач

Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного про­водника на расстоянии r₁ = 5 см и от другого — на расстоянии r₂ = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ­ке А (рис.47) определим

Рис. 47 направле­ния векторов индукций В ₁ и В ₂ по лей, создаваемых каждым проводни­ком в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B =  B ₁ + B ₂. Модуль индукции найдем по теоре­ме косинусов:

Значения индукций Bi и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукциюв которой мы вычисляем:

,

Подставляя B₁  и  В₂  в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

. (2)

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг­нитной индукции (В = М_mак /р_п).

Вычисляем cosa. Заметим, что a = DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем

,

где d — расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a = 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m₀, I, r₁, r₂ и cosb, найдем  В = 286 мкТл.

Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя­щимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токи  I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию 

В поля, создаваемого то­ками в точке, лежащей по­середине между проводами, для случаев:

1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 48, а);

2) провода параллельны­,токи текут в про­тивоположных направле­ниях (рис. 48, б);

3) про­вода перпендикулярны, на­правление токов указано на рис. 48, в.

Рис. 48

Решение: Результирующаяиндукция магнитного поля равнавекторной сумме: B = B₁ + B₂, где B₁ — индукция поля,создаваемого током 1 ₁; В₂ — индукция поля создаваемого током I ₂.

Если B₁  и В₂ направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В = В₁ + В₂. (1)

При этом слагаемые В₁  и В₂  должны быть взяты с соответствую­щими знаками.В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В₁  и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про­водов, по которым текут равные токи.

Вычислим эти индукции по формуле:

. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В₁ и В₂:

В₁ = В₂ = 80 мкТл.

1-й случай. Векторы B₁ и В₂ направлены по одной прямой (рис. 48, а); следовательно, результирующая индукция В опреде­ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В ₁  = - 80 мкТл, В ₂ = 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В ₁и B ₂, получим  В = В ₁  + В₂ = 0.

2-й случай. Векторы В ₁ и В ₂ направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 48, б). Поэтому можем за­писать

В ₁  = В ₂  = – 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B ₁ и В ₂ получим

В = В ₁  + В ₂  = – 160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнит­ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 48, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра­та, построенного на векторах В ₁ и В ₂.

По теореме Пифагора найдем:

(3)

Подставив в формулу (3) значения В ₁ и В ₂, получим B = 113 мкТл.

Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r ₀  = 20 см от середины его (рис. 49). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа: dB dl (1)

Прежде чем интегрировать выражение (1), Рис. 49

преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента dl проводника через da. Согласно рис. 49, запишем

.

Подставим это выражение dl в формулу (1):

dB

Но r — величина переменная, зависящая от a и равная . Подставив r в предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a₁ до a₂:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cosa₂ = – cosa₁. С учетом этого формула (3) примет вид

.

Из рис. 49 следует

Подставив выражение cosa₁ в формулу (4), получим

х.

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом a = 2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 50). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B₁  и В₂  полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В = В ₁ + В ₂. Магнитная индукция В ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, d В = 0([ dl,r ] = 0).

Магнитную индукцию В ₁  найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

,

где r₀  — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис. 51)

В нашем случае α₁→0 (проводник длинный), α₂ = α == 2π/3 (cos α₂ = cos (2π/3)) = –½. Расстояние r ₀  = d sin (π−α) = d sin(π/3) = . Тогда магнитная индукция

Так как В = В₁  (В₂ = 0), то

.

Вектор В сонаправлен с вектором В ₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 51 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

Рис. 50 Рис. 51

Произведем вычисления:

Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г = 20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

dB [ dl,r ] ,

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.

Рис. 52

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 52). Вектор d B направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор d B на две составляющие: dB₊ – перпендикулярную плоскости кольца и d B — параллельную плоскости кольца, т. е.

d B = d B_^ + d B _½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы d B от различных элементов d I сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

,

где (поскольку d I перпендикулярен r и, следовательно, sina = 1). Таким образом,

После сокращения на 2 π и замены cos β на R/r (рис. 52)

.

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор В направлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис. 52) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 53. Радиус дуги окружности R = 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I = 80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В = ∑В_i. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 54) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B = B ₁ + B ₂ + B ₃

где B ₁, В ₂  и В ₃ — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

Рис. 53 Рис. 54

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В ₁ = 0и тогда

B = B₂ + B₃

Учитывая, что векторы В ₂ и В ₃  направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В₂ + В₃.

Магнитную индукцию поля В ₂ можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

.

Так как магнитная индукция В ₂ создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

.

Магнитную индукцию В ₃ найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

Тогда

Используя найденные выражения для В₂  и В₃  получим

,

или

Произведем вычисления:

Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20  см друг от дру­га, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу F взаимодей­ствия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз­дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред­положим, что оба тока (обозначим их 1_г  и I ₂) текут в одном направ­лении.

Вычислим силу F ₁,₂, с которой магнитное поле, созданное током I ₁, действует на проводник с током I ₂. Для этого проведем магнит­ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 55), чтобы она касалась проводника с током I ₂. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В ₁. Модуль магнитной индук­ции B ₁  определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I ₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила

Так как отрезок d l перпендикулярен вектору B ₁, то

и тогда

(2)

Подставив в выражение (2) В ₁ из (1), получим

Рис. 55

Силу F _1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;

Заметив, что I ₁ =  I ₂ =  I и l₂ = l, получим

.

Произведем вычисления:

Сила F ₁,₂ сонаправлена с силой d F ₁,₂ (рис. 55) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 8. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течет ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя­щие провода находятся вне поля.

Решение. Распо­ложим провод в плоско­сти чертежа перпенди­кулярно линиям маг­нитной индукции (рис. 56) и выделим на нем малый элемент d l с то­ком.

Рис. 56

На этот элемент тока Idl будет действо­вать по закону Ампера сила d F =  I [dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 11. Силу d F представим в виде

где i и j — единичные векторы (орты); dF_x  и dF_y — проекции векто­ра d F на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю

тогда

(1)

Из рис. 56 следует, что

где dF — модуль вектора d F Так как вектор d l перпендикулярен вектору , то . Вы­разив длину дуги d l через радиус R и угол α, получим

.

Тогда

.

Введем dF_y  под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре­делах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 56):

.

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдем модуль силы F:

.

Произведем вычисления:

Пример 9. На проволочный виток радиусом г = 10 см, помещен­ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче­ский момент М_max = 6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде­лить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Дей­ствием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то­ком в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α = π/2 (sin α = l), а также что p_m = I S, то формула (1) примет вид

.

Отсюда, учитывая, что S = π хr ², находим

. (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

В = 104 мкТл.

Пример 10. Квадратная рамка со стороной длиной а = 2 см, содер­жащая N = 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит­ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1А она повернулась на угол α = 60°.

Рис. 57

Решение. Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав­новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

.

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 57): M ₁ — момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М ₂ — момент упругих сил, возникающих при за­кручивании нити, на которой рамка подвешена.

Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде

M ₁ + M ₂  = 0

Выразив М ₁ и М ₂ в этом равенстве через величины, от которых зависят мо­менты сил, получим

.(2)

Знак минус перед моментом М ₂ ста­вится потому, что этот момент противо­положен по направлению моменту M ₁.

Если учесть, что p_m = ISN = I a²N, где I — сила тока в рамке; S = a² — площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2) перепишем в виде

откуда

(3)

Из рис. 57 видно, что α = π/2  — φ, значит, sinα = cos φ. С учетом этого равенство (3) примет вид

(4)

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде

так как значение угла φ также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления:

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в од­нородном магнитном поле индукцией В = 1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относи­тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто­рон, на угол: 1) φ₁ = 90°; 2) φ₂ = 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

.(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М = 0), а значит φ = 0, т. е. векторы р _m и В совпадают по направле­нию.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить­ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA =  M хdj (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что р_т = I S = I a², где I — сила тока в контуре, S = a² — площадь контура, получим

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

.(3)

1. Работа при повороте на угол φ₁ = 90⁰

.(4)

После вычисления по формуле (4) найдем A₁ = Дж.

2. Работа при повороте на угол ф₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол ф₂ мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:

(5)

Выразим угол φ₂ в радианах (см. табл. 9)

φ ₂ = 3⁰ = 3 l,75 10^-2 рад = 0,0525 рад.

После подстановки значений I, В, а и φ ₂ в формулу (5) получим А ₂ = 1,37 мДж.

Пример 12. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа­лов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией B = 1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) ча­стоту п вращения электрона вмагнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона опре­делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг­нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля­рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение а_n : F = m?a_n. Подставив сюда выражения F и а_n, получим

, (1)

где е, u, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг­нитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости υ и индукции В (в нашем случае υ ^ B и a = 90°, sina = l).

Из формулы (1) найдем

(2)

Входящий в выражение (2) импульс mu выразим через кинетическую энергию Т электрона:

(3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством Т = | e | х U. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим

Тогда выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид

(4)

После вычисления по формуле (4) найдем  R = 45 мм.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории,

Подставив R из выражения (2) в эту формулу, получим

.

Произведя вычисления, найдем n = 4,20 × 10⁷c^-1 .

Пример 13. Электрон, имея скорость u = 2 Мм/с, влетел воднородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом a = 30° к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, покоторой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции В и скорости υ частицы:

F = Q u B sina, (1)

где Q — заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде

F = |e| u B sina.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро­сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си­ла, перпендикулярная скоро­сти, вызывает Рис. 58 движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в маг­нитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, рав­ной поперечной составляю­щей u ₁скорости (рис. 58); одновременно он будет дви­гаться и вдоль поля со ско­ростью u _||:

u _|| = u sina, u _|| = u cosa.

В результате одновременного участия в движениях по окружно­сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле­дующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение а_п. По второму закону Ньютона, F = m a_n, где F = | e |  uB и a_n = u ² / R,. Тогда

,

откуда после сокращения на u _z находим радиус винтовой линии:

.

Подставив значения величин т, u, e, В и a и произведя вычисле­ния, получим

R = 0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью u _x  за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

h =  u _||   T (2)

где T = 2p R/u _^  — период вращения электрона. Подставив это выра­жение для Т в формулу (2), найдем

Подставив в эту формулу значения величин p, R и a и вычислив, получим

h = 2,06 мм.

Пример 14. Электрон движется воднородном магнитном поле с индукцией В = 0,03 Тл поокружности радиусом r = 10 см. Опреде­лить скорость u электрона.

Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца (см. примеры 1 и 2). Поэтому можно написать

, (1)

откуда найдем импульс электрона:

р = т хu = | е | х В хr. (2)

Релятивистский импульс выражается формулой

.

Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

. (3)

В данном случае р = е х B хr. Следовательно,

.

В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение е хВ хr/т хс. Вычислим его отдельно:

е В хr / (m c) = 1,76.

Подставив найденное значениев формулу (4), получим

b = 0,871, или u = с хb = 2,61 х 10⁸ м/с.

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским.

Пример 15. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E = 10 кВ/м) и магнитное (B = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц:

,

откуда

. (1)

Скорость u альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q > 0).

Сделаем рисунок с изображением координатных осей и векторных

величин. Направим вектор магнитной индукции В вдоль оси О_z (рис. 59), скорость υ — в положительном направлении оси Ох, тогда F _л и F _k будут направлены так, как это указано на ри­сунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри­ческая сумма сил F _л  + F_k будет равна нулю. В проекции на ось

Рис. 59

Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско­рости v перпендикулярен вектору магнитной индукции В и sin (υ ^Ù B) = l):

Q хE — Q хu хB = O,

откуда

u = E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

.

Произведем вычисления:

Пример 16. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток  I = 50 А, расположена прямоуголь­ная рамка так, что две большие стороны ее длиной l = 65 см парал­лельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизываю­щий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

Рис. 60

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В_n = В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x — расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также за­висеть от х, то

dФ = B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шири­ной dx и площадью dS = ldx (рис. 60). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площад­ки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ =

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x ₁  = a до х₂ = 2а, найдем

|_p^2p.

Подставив пределы, получим

Произведя вычисления по формуле (1), найдем

Ф = 4,5 мкВб.

Пример 17. Определить индукцию В и напряженность Н магнит­ного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, со­держащей N = 200 витков, идет ток I = 5 А. Внешний диаметр d ₁ тороида равен 30 см, внутренний d ₂  = 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии маг­нитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуля­ции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегри­рование проводить в пределах от нуля до 2 p r, где r — радиус ок­ружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычис­ляется циркуляция,

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цир­куляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме то­ков, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется цирку­ляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2p хr хH = N хI, откуда

(4)

Для средней линии тороида r = 1/2 (R_{1 +} R₂) = 1/4 (d₁ + d₂). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем

(5)

Магнитная индукция В ₀ в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B ₀  = m₀ H. Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H = 1,37 кА/м, B ₀ = 1,6 мТл.

Пример 18. Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол a = p/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуренеизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

,

где Ф ₁ и Ф ₂ — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор

Рис. 61

магнитного мо­мента p _m контура сонаправлен с вектором В (рис. 61, а) и магнит­ный поток Ф₁ максима­лен (a = 0, cosa = 1), т. е. Ф₁  = В хS (где S — площадь контура).

В ко­нечном положении (рис. 61, б) вектор p _m перпендикулярен вектору B (a = p/2, cosa = 0) и маг­нитный поток Ф ₂ = 0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:

.

Так как площадь контура S = p хd ² / 4. то работа

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 19. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, с часто­той n = 1c^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновен­ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции, определя­ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

. (1)

Потокосцепление Y =  N хФ, где N — число витков, пронизывае­мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1),получим

. (2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам­ку в момент времени t, изменяется по закону Ф = В хS хcosw t, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w — угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

. (3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w = 2 p хп. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив w t на угол a, получим

. (4)

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

Пример. 20. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N = 800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y =  L хI, откуда L = Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y = Ф х N), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L = 1,6 мГн.

Пример 21. При скорости изменения силы тока D I /D t в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием

.

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

.

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

.

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L = 1,6 мГн.

Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко­личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время d t при силе тока I, определяется равенством

. (1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет .

Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

.

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

.

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

. (2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже­ние ее через ЭДС индукции , и сопротивление R соленоида, т. е.

, найдем .

Но связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея — Максвелла , тогда

.

Интегрируя, получаем

. (3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y₁ =  LI ₀; Y₂ = 0, так как Y₂ соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y₁ и Y₂ в формулу (3), получим Q = Y₁/ R, или

,

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами

, ,

где m₀ — магнитная постоянная; N — число витков; l ₁ — длина соленоида; S ₁ — площадь сечения соленоида; r — удельное сопро­тивление провода; l — длина провода; S — площадь сечения про­вода; d — диаметр провода; d ₁ — диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим

.

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа­метр d ₁ соленоида соотношением l = p хd ₁ N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

.

Но l ₁ /N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

.

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q = 363 мкКл.

Пример 23. На стержень из немагнитного материала длиной l = 50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W маг­нитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см².

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктив­ностью L, по обмотке которого течет ток  I, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за­висит только от числа витков на единицу длины и от объема V сер­дечника: L = μ₀n²V, где μ₀ — магнитная постоянная. Подставив вы­ражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V = l хS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдем

W = 126 мкДж.

Пример 24. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч­ником течет ток I = 2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан­тиметре длины соленоида равно 7 см^-1.

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля оп­ределяется по формуле

. (1)

Напряженность Н магнитного поля найдем по формуле H = n хl. Подставив сюда значения п (п = 7 см^-1 = 700 м^-1) и I, найдем

H = 1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (рис. 18) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H = 1400 А/м со­ответствует магнитная индукция B = 1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот­ность энергии:

ω = 840 Дж/м³.

Пример 25. Колебательный контур, состоящий из воздушного кон­денсатора с двумя пластинами площадью S = 100 см² каждая и катушки с индуктивностью L = l мкГн, резонирует на волну длиной λ = 10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора мож­но найти из формулы электроемкости плоского конденсатора

,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, заполняю­щей конденсатор, откуда

. (1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в элек­трическом контуре: , находим электроемкость

. (2)

Неизвестный в условии задачи период колебаний можно опреде­лить, зная длину волны λ, на которую резонирует контур. Из соот­ношения λ = с хТ имеем

Т = λ /с.

Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электро­емкости С в формулу (1), получим

.

Произведя вычисления, найдем d =3,14 мм.

Пример 26. Колебательный контур состоит из катушки с индук­тивностью L = 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от C₁  = 12 пФ до С₂  = 80 пФ. Определить диапазон длин электромаг­нитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Решение. Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением

λ =с?Т. (1)

Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного конту­ра соотношением (формула Томсона) . Следовательно,

. (2)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от C₁ до C₂. Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн λ₁ и λ₂,, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резо­нанс. После вычислений по формуле (2) получим:

λ₁  = 226 м; λ₂  = 585 м.

Задачи

241. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как показано на рис. 62. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

242. Магнитный момент p_m тонкого проводящего кольца

---

---