Проектирование прямой линии

Прямая линия однозначно определяется двумя точками (например А и В). На рисунке 5 построенына плоскостях проекций , и три проекции прямой линии АВ: , и .

Рис. 5 Рис. 6

На рисунке 6 та же прямая АВ представлена проекциями , и на ортогональном чертеже.

Если на прямой АВ взять некоторую точку С и построить её проекцию на горизонтальную плоскость , то она будет лежать на прямой (см. рис. 5).

Аналогичным образом фронтальная проекция будет лежать на проекции , а профильная – на проекции (Рис. 6), т.е. если точка лежит на прямой, то её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой.

Точка С разделила отрезок АВ в некотором отношении . В таком же отношении точка разделила отрезок ; точка – отрезок и, наконец, точка – отрезок , т.е. . Отсюда следует, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции отрезка в том же отношении.

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называют следами.

ВЫНЕСТИ В КОНЕЦ?

Рис. 1.1. Рис. 2.1.

Представим в пространстве три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций: го-

ризонтальную – (H ), вертикальную (фронтальную) – (V) ипрофильную – (W) (Рис. 1).

Плоскости и пересекаются по оси проекции ОХ; плоскости и – по оси OY иплоскости и – по оси OZ.

Возьмем в этом квадрате точку А и спроектируем её ортогонально на указанные плоскости: горизонтальная проекция точки будет – , фронтальная проекция – и профильная – (Рис. 1, 2).

Отрезки , и выражают расстояния от точки А до каждой из плоскостей проекций; эти отрезки называются прямоугольными координатами точки А и обозначаются соответственно. (рис. 1.1.).

Таким образом: три прямоугольные координаты точки однозначно определяют её положение в пространстве. Для точки А это условие сокращенно может быть записано в такой форме: .

На рисунке 1 проекции точки А построена на трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Практически же проекции точки строятся в одной плоскости.

Чтобы получить все три проекции точки в одной плоскости чертежа, нужно с плоскостью чертежа совместить все три плоскости , и . Это совмещение выполняется следующим образом: плоскость непосредственно совмещается с плоскостью чертежа (остается на месте); плоскость совмещается с плоскостью чертежа вращением по оси ОХ сверху вниз и плоскость совмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси OZ слева направо (см. рис. 2.1.).

После этих преобразований ортогональные плоскости , и займут положение в одной плоскости чертежа (Рис. 2 и 3). Ось OУ (которая раньше была направлена на нас) в результате перемещений плоскостей и расслоилась на две составляющие: и (правые нижние индексы и соответствуют тем плоскостям, при которых осталась ось Оу).

Проекция точки А на горизонтальную плоскость определяется двумя координатами: X_А = Оa_X и У_А = Оa_У (см.рис. 3), что может быть записано так: (X _А; Y_А).

Проекция точки А на фронтальную плоскость определяется координатами: X_А = Оa_X и Z_А = Оa_Z, что тоже можно записать: (X _А; Z_А).

Наконец, проекция точки А на профильную плоскость определяется тоже двумя координатами: и , т.е.: (Y _А; Z_А).

Мы видим, что любая из трех проекций точки А определяется по двум координатам,

Рис. 3

в то же время в координаты любых двух проекций входят три прямоугольные координаты однозначно определяющие её положение в пространстве.

Рис. 4

Таким образом очевидно, что по любым двум заданным проекциям точки можно построить третью.

Обратив внимание на расположение трех проекций точки А на ортогональном чертеже рис. 3, мы видим определенную закономерность: две проекции точки на две взаимно-перпендикулярные плоскости связаны прямой, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей проекций.

Из этой закономерности для проверки правильности выполнения первого задания, (да и дальнейших тоже), необходимо помнить: горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной вертикальной прямой, а фронтальная и профильная проекции точек лежат на одной горизонтальной прямой (рис. 2 и 3).

Линии, связывающие между собой проекции точки на ортогональном чертеже, называются линиями проекционной связи.

В объёмном отображении плоскости проекций , и являются неограниченными поверхностями и при взаимном пересечении делят все пространство на восемь прямых трехгранных угла (Рис. 4).

Положение точки в том или ином из восьми углов определяется не только величинами трех её координат, но и направлениями, по которым эти координаты должны откладываться: каждой из трех осей проекций дано два направления относительно начала координат 0: положительное и отрицательное (см. рис. 4).