Описание колебательных процессов

Введение

 

Среди разнообразных физических явлений в окружающем нас мире мы часто наблюдаем периодические или почти периодические процессы: восход и заход солнца, волнение на море, колебания маятника часов, переменный электрический ток, электромагнитные волны, колебания молекул в твердом теле, (примеры можно было бы продолжать до бесконечности), которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

Самая характерная черта колебательных движений, отличающая их от других явлений, в том, что колебательные движения многократно повторяются или приблизительно повторяются через определенные промежутки времени. Законы колебательных процессов позволяет рассматривать различные по физической природе колебания, встречающиеся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающего на рессорах, то движение шарика относиться поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача – найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний, под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний – нахождение траектории результирующего колебания.

При сложении колебаний можно пользоваться аналитическим, графическим методами и методом векторных диаграмм.

 

Нахождения результирующего колебания в случаи однонаправленных колебаний, реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательных систем.

Методы алгебраического и графического сложения амплитуд позволяет решить ряд задач на дифракцию света.

Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).

Цель работы: изучение особенностей движения материальной точки, участвующих в двух одинаково направленных колебательных движениях. Решаются задачи на сложение одночастотных и разночастотных колебаний, построение векторных диаграмм, сложение колебаний в аналитическом виде по заданным параметрам. А также рассматриваются сложения колебаний в теории дифракции.

 

 

Описание колебательных процессов

 

Гармонические колебания – периодические изменения во времени физических величин, характеризующих колебательную систему, происходящие по закону синуса или косинуса.

Гармоническое колебание может быть задано в стандартной форме

, (1)

в виде или в комплексном виде х(t) = А е ^iwt, или в графической форме.

Рассмотрим скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания.

Смещение тела относительно положения равновесия в произвольный момент времени определяется уравнением движения (1), записанным для этого момента времени.

Вектор скорости направлен всегда вдоль прямой линии (ось OX) и определяется из выражения:

, (2)

t-время(с)

нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t) по времени t и обозначается как x'(t). Вычисление производной приводит к следующему результату:

(3)

- амплитуда скорости

аналогичным образом определяется ускорение , тела, ускорение равно производной функции υ(t) по времени t, или второй производной функции x(t):

(4)

- амплитуда ускорения ,

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

Начальные условия задают запас механической энергии в системе. Поэтому начальные условия определяют запас потенциальной и кинетической энергии.

где Е - полная энергия гармонических колебаний тела (Дж), -потенциальная энергия (Дж), - кинетическая энергия (Дж).

Распишем кинетическую и потенциальную энергию

Запишем полную энергию гармонических колебаний

Учтем, что

Гармонические колебания относительно смещенного положения равновесия описываются соотношениями вида:

Часто тело может участвовать одновременно в нескольких независимых колебательных движениях, поэтому возникает необходимость найти результирующие параметры сложного колебательного процесса. В ряде случаев анализ сложных колебаний удобнее выполнять, представляя сложные колебания набором нескольких простейших.