Плоскость и прямая в пространстве
Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F (x, y, z)=0, которое обращают в верное равенство координаты всех точек данной поверхности, и которому не удовлетворяют точки вне данной поверхности.
Уравнение плоскости в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Для того, чтобы три точки пространства M 1(x 1; y 1; z 1); M 2(x 2; y 2; z 2); M 3(x 3; y 3; z 3), определяли плоскость , они не должны лежать на одной прямой. Поскольку точки лежат в одной плоскости, то для произвольной точки M (x; y; z) из этой плоскости векторы
={ x – x 1; y – y 1; z – z 1}, ={ x 2– x 1; y 2– y 1; z 2– z 1} и ={ x 3– x 1; y 3– y 1; z 3– z 1} будут компланарны, а их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение в координатной форме имеет вид
. (1)
Это равенство и определяет уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки.
2 Уравнение плоскости с нормальным вектором
Пусть плоскость проходит через точку M 0(x 0; y 0; z 0) перпендикулярно вектору =(A; B; C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости .
|
|
Для произвольной точки M (x; y; z) из плоскости вектор ={ x – x 0; y – y 0; z – z 0} будет перпендикулярен вектору =(A; B; C), а скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. =0. В координатной форме последнее равенство имеет вид
. (2)
Уравнение (2) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору =( A; B; C ) и проходящей через данную точку M 0( x 0; y 0; z 0).