Пусть прямая в пространстве проходит через две точки и M 0(x 0; y 0; z 0) M 1(x 1; y 1; z 1). Тогда для произвольной точки M (x; y; z) этой прямой векторы ={ x–x 0; y–y 0; z–z 0} и ={ x 1 –x 0; y 1 –y 0; z 1 –z 0} лежат на одной прямой, а значит, параллельны и имеют пропорциональные координаты, т.е.
. (4)
Уравнения (4) являются уравнениями прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
Уравнения прямой в пространстве с направляющим вектором (канонические уравнения прямой в пространстве)
Вектор ={ x 1 –x 0; y 1 –y 0; z 1 –z 0} лежит на прямой, поэтому он является ее направляющим вектором. Обозначим x 1 –x 0= m; y 1 –y 0= n; z 1 –z 0= p, тогда (4) перепишется как
. (5)
Уравнения (5) называются уравнениями прямой в пространстве, проходящей через точку M 0( x 0; y 0; z 0) с направляющим вектором ={ m; n; p } или каноническими уравнениями прямой.
Параметрические уравнения прямой
Обозначим в (5) , t R, тогда равенства в координатах вида
. (6)
называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку M 0( x 0; y 0; z 0) с направляющим вектором ={ m; n; p } в пространстве.
|
|
Общие уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и , заданных своими общими уравнениями и , т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе
. (7)