2015-04-23
13622
Пусть векторная функция
определена и непрерывна на некоторой поверхности 
в пространстве 
Разобьем поверхность произвольным образом на n частей 
с площадями 
(рис. 8.3). В каждой частичной области выберем произвольную точку 
и составим сумму
,
где 
, 
– единичная нормаль к поверхности в точке .
Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции 
в области (на поверхности) .
Обозначим через 
наибольший из диаметров частичных областей :
.
Рис. 8.3. Разбиение поверхности на частичные области в случае
поверхностного интеграла второго рода
Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции 
по поверхности называется предел интегральных сумм при 
, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки 
:
или в другой записи:
,
где векторный элемент поверхности
и скалярное произведение
.
Функция
называется интегрируемой по поверхности , сама – поверхностью интегрирования.
|
|
|
Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности , интегрируема по этой поверхности.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):
,
где 
и 
– стороны поверхности интегрирования .
Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность с установившейся скоростью 
.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.
Если 
– выражения, полученные из уравнения поверхности разрешением относительно соответствующих координат; 
– проекции поверхности соответственно на плоскости 
, 
, 
; 
– единичная нормаль к поверхности в точке 
(рис. 8.3), то
,
где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов 
нормали 
к поверхности .
Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
,
где – верхняя сторона плоскости 
, отсеченная плоскостями 
и лежащая в первом октанте (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода
Обозначим через – проекции поверхности на плоскости , , соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали к поверхности 
, а 
, так как плоскость параллельна оси Oy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:
|
|
|
.
