Поверхностный интеграл второго рода

Пусть векторная функция

определена и непрерывна на некоторой поверхности в пространстве

Разобьем поверхность произвольным образом на n частей с площадями (рис. 8.3). В каждой частичной области выберем произвольную точку и составим сумму

,

где , – единичная нормаль к поверхности в точке .

Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции в области (на поверхности) .

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей :

.

Рис. 8.3. Разбиение поверхности на частичные области в случае

поверхностного интеграла второго рода

Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

,

где векторный элемент поверхности

и скалярное произведение

.

Функция

называется интегрируемой по поверхности , сама – поверхностью интегрирования.

Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности , интегрируема по этой поверхности.

Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:

При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):

,

где и – стороны поверхности интегрирования .

Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность с установившейся скоростью .

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.

Если – выражения, полученные из уравнения поверхности разрешением относительно соответствующих координат; – проекции поверхности соответственно на плоскости , , ; – единичная нормаль к поверхности в точке (рис. 8.3), то

,

где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов нормали к поверхности .

Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где – верхняя сторона плоскости , отсеченная плоскостями и лежащая в первом октанте (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода

Обозначим через – проекции поверхности на плоскости , , соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали к поверхности , а , так как плоскость параллельна оси Oy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:

.