double arrow

Числовые ряды


Основные понятия

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел , т.е. множество чисел, в котором каждому натуральному числу n по определённому правилу соответствует некоторое число an. Выражение вида называется числовым рядом, сами числа – членами ряда, общим членом ряда. Коротко ряд записывают так: .

Суммы , в которых присутствуют только n первых членов ряда, называются частичными суммами ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел . Число S называется суммой ряда.

Если предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Дана бесконечная геометрическая прогрессия . Составим ряд

(1)

и исследуем его на сходимость, исходя из определения сходимости ряда. Для этого составим частичную сумму =. Из школьного курса математики известно, что . Напомним, как это получается. Для доказательства произведём деление

Вычислим теперь предел , учитывая, что здесь возможны три случая:

1) , (2)

2) если q = 1, то =и ,

3) если q = –1, то =, и , а = , и . Значит, последовательность частичных сумм единого предела не имеет.

Поэтому делаем вывод: геометрическая прогрессия сходится, если и расходится при .

Пример 2. Доказать расходимостьряда

.

Решение. Оценим частичную сумму ряда:

> , т.е. > ,

а предел частичной суммы равен бесконечности (по известной теореме о пределах : если xn > yn, то ): = ¥. Значит, данный ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим два ряда и . Второй ряд получен из первого путём отбрасывания первых m его членов. Этот ряд называется остатком ряда и обозначается rn.

Теорема 1. Если члены сходящегося ряда умножить на некоторое число С, то сходимость ряда не нарушится, а сумма умножится на С.

Теорема 2. Два сходящихся ряда можно почленно складывать (вычитать) и сумма полученного ряда будет равна , где - сумма первого ряда, а – сумма второго.

Теорема 3. Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Из сходимости остатка ряда следует сходимость самого ряда.

Можно сказать и по-другому: на сходимость ряда не влияет отбрасывание (или приписывание) конечного число членов ряда. И это свойство самое замечательное. Действительно, пусть сумма ряда равна бесконечности (ряд расходится). Мы складываем очень большое, но конечное число членов ряда. Эта сумма может быть очень большим, но, опять же, конечным числом. Так, значит, сумма остатка ряда, а там члены ряда уже ничтожно малые числа, всё равно равна бесконечности за счёт бесконечности числа слагаемых.

Теорема 4. Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то его общий член an стремится к нулю, т.е. .

Доказательство. Действительно,

, , и если ряд сходится, то и , а значит, при .

Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. ряд может расходиться, а его общий член стремится к нулю. В примере 2 ряд расходится, хотя его общий член .

Но если аn не стремится к нулю при , то ряд является расходящимся (достаточный признак расходимости ряда).

Сходимость рядов с положительными членами

Ряд называется положительным, если все .

Частичные суммы такого ряда Sn образуют возрастающую последовательность, так как каждая предыдущая меньше следующей, т.е. . Из теории пределов известно (теорема Больцано-Вейерштрасса), что если возрастающая последовательность ограничена сверху (т.е. для всех Sn существует такое число М, что Sn < М для всех n), то она имеет предел. Отсюда следует следующая теорема.

Теорема. Ряд с положительными членами сходится, если частичные суммы его ограничены сверху, и расходится в противном случае.

На этом свойстве основаны все достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Рассмотрим основные из них.

Признак сравнения

Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами: - (3) и - (4), причём , начиная с некоторого n. Тогда из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3). А из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4).

Иначе: если сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими членами; если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с б?льшими членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член ряда , а ряд есть бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем < 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Признак сравнения в предельной форме

Рассмотрим два ряда и , и пусть , – конечное число. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Выберем ряд для сравнения, выяснив для этого, как ведёт себя общий член ряда при больших n:

~ .

Т.е. ~ , и в качестве ряда сравнения берём ряд , который расходится, что было показано ранее.

Вычислим предел

,

и значит, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. данный ряд тоже расходится.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (т.е. необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд (напомним, что , т.е. n-факториал есть произведение всех целых чисел от 1 до n).

Решение. Для этого ряда , (для нахождения нужно в вместо n подставить n + 1). Вычислим предел

,

и так как предел меньше 1, данный ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд и существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда . Вычислим предел . Значит, ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Рассмотрим ряд , и предположим, что на промежутке х Î существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция такая, что , n = 1, 2, 3… . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Отметим, что если дан ряд то и функция рассматривается на промежутке .

Напомним, что указанный несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел , и тогда =. Если при не имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пример. Рассмотрим ряд обобщённый гармонический ряд или ряд Дирихле с показателем степени s. Если s = 1, то ряд называют гармоническим рядом.

Исследуем данный ряд, используя интегральный признак Коши: =, и функция =обладает всеми свойствами, указанными в признаке. Вычислим несобственный интеграл .

Возможны три случая:

1) s < 1, и тогда

,

интеграл расходится.

2) при s = 1

,

интеграл расходится.

3) если s > 1, то

,

интеграл сходится.

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится, если s > 1, и расходится, если s ≤ 1.

Этот ряд часто используют для сравнения с другими рядами, содержащими степени n.

Пример. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Для этого ряда ~ =, значит, данный ряд сравниваем с рядом , который сходится, как ряд Дирихле с показателем степени s = 2 > 1.

По признаку сравнения в предельной форме находим предел отношения общих членов данного ряда и ряда Дирихле:

Следовательно, данный ряд тоже сходится.

Рекомендации по использованию признаков сходимости

Прежде всего, следует воспользоваться необходимым признаком сходимости ряда и вычислить предел общего члена ряда при . Если , то ряд заведомо расходится, а если , то следует воспользоваться одним из достаточных признаков.

Признаки сравнения полезно использовать в тех случаях, когда путём преобразований выражения для общего члена ряда удаётся перейти от исходного ряда к ряду, сходимость (или расходимость) которого известна. В частности, если содержит только степени n и не содержит никакие другие функции, это всегда можно сделать.

Признаки сравнения применяют тогда, когда исходный ряд можно сопоставить с обобщённым гармоническим рядом или рядом, составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

.

Решение. Ясно, что при больших n общий член этого ряда сравним с : ~ ~ . Значит, рядом сравнения будет обобщённый ряд Дирихле с показателем степени 2: , который сходится, т.к. s = 2 > 1.

Вычислим предел

.

Значит, данный ряд тоже сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как при х > 0, sin x < х (см. рис. 2), то < , значит, <.

Поскольку ряд с бóльшими членами сходится, значит, данный ряд тоже сходится.

Рис 2. Графики функций х и sin x

Признак Даламбера удобно применять, когда содержит показательную функцию, факториал n! или то и другое.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как содержит n!, то удобно воспользоваться признаком Даламбера. Общий член ряда равен , и значит, . Предел отношения этих членов ряда равен

,

т.к. при : , , , . Раз предел больше единицы, значит, ряд расходится.

Радикальный признак Коши следует применять, если общий член ряда имеет вид

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Здесь общий член ряда =, и удобно применить признак Коши. Вычислим предел:

.

Значит, данный ряд сходится.

Интегральный признак Коши применяют, если при замене получается функция , интеграл от которой вычисляется достаточно просто.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение.Воспользуемся интегральным признаком, взяв в качестве функции =, которая на промежутке является положительной, непрерывной и монотонно убывающей, и .

Вычислим несобственный интеграл:

.

Интеграл расходится, значит, ряд тоже расходится.

Для предварительной оценки сходимости заданного ряда полезно иметь в виду, как быстро растут разные функции с ростом n. Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

.

Поэтому, если в числителе стоит какая-то из этих функций, а в знаменателе - функция левее её, то, скорее всего, ряд расходится, и наоборот.


Сейчас читают про: