2015-10-22
4049
Скалярным произведением 
двух векторов 
и 
называется число, равное произведению их длин, умноженных на косинус угла между векторами:
. (2.11)
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:
1 ) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
или один из векторов нулевой.
Если =(x 
,y ,z ), =(x 
,y ,z ), то в базисе i, j, k
.
Геометрический смысл скалярного произведения заключается в следующем: длина вектора это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя ̶ 
.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 
, , 
с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается из конца вектора происходящим против движения часовой стрелки, иначе тройка векторов называется левой.
Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор 
, который удовлетворяет трем условиям:
1) тройка векторов , , – правая;
2) 
3). 
Если векторы коллинеарные, тогда векторное произведение векторов равно нулю.
Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:
1) 
2) 
3) 
;
4) 
5) геометрический смысл векторного произведения: 
, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало в точке О (рис. 7).
Рис. 7
Если 
, то в базисе i, j, k векторное произведение выражается через координаты данных векторов следующим образом:
. (2.12)
Смешанным произведением 
векторов 
, , называется число 
.
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1) 
2) 
;
3) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: =±V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах, взятый со знаком «+» если тройка векторов , , – правая, или со знаком «-», если она левая;
4) 
, , компланарные векторы.
Если 
, то в базисе i, j, k
. (2.13)
