Решение разностных уравнений

Операторная форма записи разностных уравнений.

Введем обозначения:

- оператор разности,

Z – оператор смещения решетчатой функции на один такт.

,

.

Связь операторов и Е.

,

отсюда или .

Пример. Преобразуем уравнение в рекуррентную форму.

.

Отсюда или

Тогда .

Так же как и в случае дифференциальных уравнений, решение разностного уравнения ищется в виде суммы двух составляющих:

1) общее решение однородного разностного уравнения;

2) частное решение неоднородного уравнения с правой частью.

Для разностного уравнения так же существует понятие характеристического уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где (k = 1,2,…,) – корни характеристического уравнения.

Исходное уравнение:

- характеристическое уравнение.

– произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Частное решение неоднородного уравнения.

Если в правой части уравнения стоит константа, то решение ищется в виде постоянной.

Если в правой части уравнения полином относительно , то и решение ищется в виде полинома того же порядка.

Пример.

. Отсюда .

Подставим в исходное уравнение частное решение

Отсюда или .

, тогда .

, тогда .

.

Отсюда .

.