Z-преобразование амплитудно-импульсной системы

Z-преобразование. Математическое описание и анализ импульсной системы с амплитудной модуляцией существенно упрощаются, если все сигналы в системе (как в импульсной, так и в непрерыв­ной части) рассматривать только в дискретные моменты времени t = 0 T; 1 T; 2 Т;...; I T;...; . При этом каждый непрерывный сигнал удобно представлять в виде решетчатой функции времени значения которой определены только для дискретных моментов времени:

Между дискретными значениями аргумента t функция равна нулю.

Непрерывная функция является огибающей для решетча­той функции , и каждому конкретному сигналу соответст­вует вполне определенный сигнал .

При замене реальных непрерывных сигналов решетчатыми функциями часто удобнее переходить к относительному времени , т. е. измерять время числом периодов квантования Т. В этом случае относительный период , а решетчатая функция обозначается .

Последовательность неединичных импульсов, образующих ре­шетчатую функцию на интервале 0 < iT < ¥, можно представить в виде бесконечного ряда

(2.1)

где — смещенная дельта-функция, существующая только в моменты времени и равная нулю при всех других значе­ниях t.

Применим к сумме (2.1) преобразование Лапласа, учитывая при этом, что изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений, а также, что согласно теореме запаздывания изображение смещенной дельта-функции равно . Тогда изображение решетчатой функции (2.1) по Лапласу:

(2.2)

Выражение (2.2) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно содержит трансцендентный сомножитель , из-за которого изображения и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными функциями аргумента р, что создает определенные трудности при их использовании. Поэтому с целью получения передаточных функций импульсных систем в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным систе­мам, целесообразна замена аргументов и тогда вместо (2.2) получают более удобное для практического использования преобразование, называемое z -преобразованием решетчатой функции (или дискрет­ной последовательности) .

(2.3)

Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функ­ций z -преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам. В табл. 2.1 приведены z -изображения лишь для функций времени, используемых далее в примерах.

Главное достоинство и удобство z -преобразования заключается в том, что сама запись z -изображения (2.3) указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:

1) чтобы по известной функции времени найти ее z -изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение умножить на , а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;

2) чтобы по известному изображению найти соответст­вующий сигнал , необходимо представить изображение в виде степенного ряда по убывающим степеням, получаю­щиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения сигнала.