Комбинации ожидаемого значения и дисперсии как критерий риска

Таблица 3.1

Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако, надо помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Пример 1. Предположим, например, что Вы намерены инвестировать 100000 дол. сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций приведены в табл. 3.1.

Во-первых, это ГКО-ОФЗ со сроком погашения один год и став­кой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т. е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номи­нальная стоимость.

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Состояние экономики	Вероятность рi	ГКО-ОФЗ,%	Доходность инвестиций при данном состоянии экономики, %
корпоративные ценные бумаги	проект 1	Проект 2
Глубокий спад	0.05	8.0	12.0	-3.0	-2.0
Незначительный спад	0.20	8.0	10.0	6.0	9.0
Стагнация	0.50	8.0	9.0	11.0	12.0
Незначительный подъем	0.20	8.0	8.5	14.0	15.0
Сильный подъем	0.05	8.0	8.0	19.0	26.0
Ожидаемая доходность	—	8.0	9.2	10.3	12.0

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рас­сматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет со­бой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются по номиналу с купон­ной ставкой 9% (т. е. на 100000 дол. вложенного капитала можно получать 9000 дол. годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако Вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая до­ходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае эко­номического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений 1, чистая стоимость которого составляет 100000 дол. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуще­ствляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

И, наконец, альтернативный проект капиталовложений 2, совпадающий по всем па­раметрам с проектом 1 и отличающийся от него лишь распределением вероят­ностей ожидаемых в конце года выплат.

Под распределением вероятностей, будем понимать множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей). Именно в этом смысле следует истолковывать представленные в табл. 3.1 четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по ГКО-ОФЗ точно известна. Она составляет 8% и не зависит от состояния эконо­мики.

Вопрос 1. Можно ли риск по ГКО-ОФЗ безоговорочно считать равным нулю?

Ответ: а) да; б) думаю, что не все так однозначно, но затрудняюсь дать более полный ответ; в) нет.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 1.

Справка 1. Инвестиции в ГКО-ОФЗ являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. В то же время их реальная доходность содержит определенную долю риска, т.к. она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение пери­ода владения данной ценной бумагой. Более того, ГКО могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерыв­ного дохода: когда истекает срок платежа по ГКО-ОФЗ, необходимо осуще­ствить реинвестирование денежных средств, и если процентные ставки снижаются, до­ход портфеля также уменьшится. Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в нашем примере, так как период, в течение кото­рого инвестор владеет ГКО-ОФЗ, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность после уплаты налогов, поэтому значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенно­стью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными . Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в табл. 3.1 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ГКО-ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Ка­ждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ГКО-ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0.50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сло­жить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются внутренние нормы доходности (Internal Rate of Return, аббревиатура IRR), ожидаемое зна­чение — это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return, аббревиатура ERR), которую можно представить в следующем виде:

ERR = IRR_i, (3.1)

где IRR_i, — i-й возможный исход; p_i — вероятность появления i-го исхода; п — число возможных исходов.

Используя формулу (3.1), найдем, что ожидаемая норма доходности, например, проекта 2 равна 12.0%:

ERR = -2.0% ´ 0.05 + 9.0% ´ 0.20 + 12.0% ´ 0.50 + 15% ´ 0.20 + 6.0% ´ 0.05 = = 12.0%.

Упражнение 1. По формуле (1) рассчитать ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования. Результаты сравните с последней строкой таблицы 3.1.

Напомним, что дискретные распределения вероятностей могут быть представлены не только в табличной, но и в графи­ческой форме. На рис. 3.1 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов 1 и 2.

Рис. 3.1. Графическое представление дискретного распределения вероятностей.

а — проект 1; б — проект 2.

Возможные значения доходности проекта 1 принадлежат промежутку от -3.0 до +19.0%, а проекта 2 – от -2.0 до +26.0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появле­ния соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому вари­анту равна 1.00. Отметим также, что распределение значений доходности про­екта 2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию.

Упражнение 2. Постройте аналогичные диаграммы для ГКО-ОФЗ и корпоративных ценных бумаг. Сравните свои результаты с ответом.

Ответ: доходность ГКО будет представлена единственным столбцом, а доходность корпоратив­ных ценных бумаг – диаграммой, имеющей правостороннюю асиммет­рию.

Таким образом, использование ожидаемого значения в качестве критерия риска обусловлено стремлением мак­симизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты. В частности, этот критерий можно количественно выразить в денеж­ных единицах или в единицах полезности денег. Для пояснения раз­ницы между непосредственно деньгами и их полезностью предпо­ложим, что инвестиции в 2000 руб. дают с равными вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 10 000 руб. В денежных единицах ожидаемый чистый доход составит

(10 000´0,5 + 0´0,5) – 2000 = 3000 (руб.)

Подобное вложение денег, на первый взгляд, представляется опти­мальным. Однако такое решение не для всех ЛПР приемлемо. Например, для лица А, имеющего ограниченные ресурсы, потеря 2000 руб. может привести к банкротству. Напротив, лицо В, капи­тал которого значительно превосходит данную сумму, может пой­ти на такой риск. Следовательно, нецелесообразно ис­пользовать ожидаемое значение стоимостного выражения в каче­стве единственного критерия для принятия решений. Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято ЛПР лишь на основе всех существенных факторов, его отношения к полезности денег.

Необходимо также отметить, что использование критерия ожидаемого значения целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Иными словами, ориентация на ожидаемую доходность может приводить к неверным результатам для тех решений, которые приходится принимать эпизодически.

Данный критерий является модификацией критерия ожидаемо­го значения, причем он модифицирован таким образом, что его мож­но использовать для принятия решений в редко повторяющихся си­туациях. Использование дисперсии, или среднего квадратического отклонения ожидаемого дохода в финансовых операциях на сегодняшний день является одной из главных оценок рискованной опе­рации, количественной оценкой риска.

3.3.1. Анализ общего риска: активы, рассматриваемые изолированно

Понятия распределения вероятностей и ожидаемой величины могут исполь­зоваться как основа для измерения риска. Известно, что риск присутствует в том случае, если исследуемые распределения имеют более одного возможного ис­хода, однако каким образом можно измерить риск и оценить его количественно? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала методику исчисления об­щего риска.

Выше мы предположили, что возможны 5 состояний экономики (см. табл. 3.1). На самом же деле состояние экономики может варьироваться от самой глубокой депрессии до наивысше­го подъема с бесчисленным количеством промежуточных поло­жений. Обычно среднему (нормальному) состоянию соответству­ет самая большая вероятность, далее значения вероятностей рав­номерно уменьшаются при удалении от нормы как в одну (подъ­ем), так и в другую (спад) сторону, стремясь к нулю в крайних по­ложениях (полная депрессия и наибольший подъем). Если при этом величина доходности, соответствующая нормальному поло­жению, является одновременно и средним арифметическим двух крайних значений, то мы получаем распределение, которое в тео­рии вероятностей носит название «нормального». Его графическое изображение дано на рис. 3.2.

Нормальное распределение достаточно полно отражает реаль­ную ситуацию и дает возможность, используя ограниченную ин­формацию, получать числовые характеристики, необходимые для оценки степени риска того или иного проекта. Далее будем всегда предполагать, что мы находимся в условиях нормального распре­деления вероятностей.

Замечание. В действительности в чистом виде нормальное распределение в экономических явлениях встречается редко, однако, если однородность совокупности соблюдена, часто фактические распределения близки к нормальному.

Вопрос 2. Реальные распределения вероятностей могут существенно отличаться от нормального. Насколько сильно будут искажены наши выводы, если в наших рассуждениях мы будем исходить только из нормального закона распределения вероятностей?

Ответ: а) затрудняюсь ответить; б) существенно искажены; в) искажения будут несущественными.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 2.

Справка 2. Даже если распределение не является близким к нормальному, на основании тео­ремы Чебышева можно утверждать, что для любого распределения не менее 89% всех исходов лежит в пределах трех средних квадратических отклонений от ожидаемого значения.

ERR

Рис. 3.2. Нормальное распределение вероятностей

На рисунке 3.1 приведены графики распределения вероятностей для проектов 1 и 2. Условиям нормального распределения удовлетворяет проект 2.

Для большей прозрачности дальнейших рассуждений, полезно предварительно решить самостоятельно следующую задачу

Задача 1. Рассмотрим два финансовых проекта А и В, для кото­рых возможные нормы доходности (IRR) находятся в зависимо­сти от будущего состояния экономики. Данная зависимость отра­жена в таблице 3.2

Таблица 3.2.

Данные для расчета ожидаемой нормы доходности вариантов вложения капитала в проекты А и В

Состояние экономики	Вероятность данного состояния	Проект А, IRR	Проект В, IRR
Подъем Норма Спад	P1 = 0,25 Р2 = 0,5 Р3 = 0,25	90% 20% - 50%	25% 20% 15%

Рассчитайте для каждого из проектов ожидае­мую норму доходности ERR. Сравните результаты своих вычислений с ответом.

Ответ: Для проекта А по формуле (3.1) получаем:

ERR_А = 0,25 ´ 90% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ (-50%) = 20%.

Для проекта В:

ERR_В = 0,25 ´ 25% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ 15% = 20%

Таким образом, для двух рассматриваемых проектов ожидае­мые нормы доходности совпадают, несмотря на то, что диапазон возможных значений IRR сильно различается: у проекта А от -50% до 90%, у проекта В от 15% до 25%. На рисунке 3.3 приведены графики распределения вероятностей для проектов А и В, (они удовлетворяют условиям нормального распределения).

Рис. 3.3. Распределение вероятностей для проектов А и В

Предполагается, что для проекта А в наихудшем случае убыток не составит более 50%, а в наилучшем случае доход не превысит 90%. Для проекта В 15% и 25% соответственно. Очевидно, что тогда значение ERR останется прежним (20%) для обоих проектов, совпадая со значением среднего состояния. Со­ответствующая же среднему значению вероятность понизится, причем не одинаково в наших двух случаях.

	р

ERR

Рис. 3.4. Распределение вероятностей для проектов А и В

Очевидно, чем более «сжат» график, тем выше вероятность, со­ответствующая среднему ожидаемому доходу (ERR), и вероят­ность того, что величина реальной доходности окажется доста­точно близкой к ERR. Тем ниже будет и риск, связанный с соот­ветствующим проектом. Поэтому меру «сжатости» графика мож­но принять за достаточно корректную меру риска.

Меру «сжатости» определяет величина, которая в теории веро­ятности носит название «среднеквадратичного отклонения» - s - и рассчитывается по следующей формуле

(3.2)

Чем меньше величина s, тем больше «сжато» соответствующее распределение вероятностей, и тем менее рискован проект. При этом для нормального распределения вероятность «попадания» в пределы ERR ± s составляет 68,26%.

Рассчитаем значение s для рассматриваемых проектов А и В.

Проект А:

%

Проект В:

%

Как видим, для второго проекта с вероятностью 68,26% можно ожидать величину доходности IRR = 20% ± 3,5%, т.е. от 16,5% до 23,5%. Риск здесь минимальный. Проект А гораздо более риско­ванный. С вероятностью 68,26% можно получить доходность от -29,5% до 69,5%. Считается, что среднерискованной операции соответствует значение s около 30%.

В рассмотренном примере распределение вероятностей пред­полагалось известным заранее. Во многих ситуациях бывают дос­тупны лишь данные о том, какой доход приносила некая финан­совая или хозяйственная операция в предыдущие годы.

С позиции развиваемых представлений проанализируем рассмотренный в самом начале темы пример 1.

Рассчитаем, например, дисперсию доходности проекта 2 по данным табл. 3.1. Нам известно, что ожидаемая доходность проекта, равна 12.0%. Следовательно, дисперсия равна

= (-2,0 – 12,0)²0,05 + (9,0 – 12,0)²0,20 + (12,0-12,0)²0,50 +

+(15,0-12,0)²0,20 + (26,0-12,0)²0,05 = 23,20,

а среднее квадратическое отклонение доходности проекта 2 – s = 4,82%

Используя этот показатель в качестве меры разброса, можно сделать ряд полез­ных выводов о распределении исходов. В частности, если распределение явля­ется непрерывным и близким к нормальному, можно утверждать, что 68.3% всех исходов лежит в пределах одного среднего квадратического отклонения от ожидаемого значения, 95.4% — в пределах двух средних квадратических отклонений и практически все исходы (99.7%) — в пределах трех средних ква­дратических отклонений.

В табл. 3.3 приводятся ожидаемые значения доходности, дисперсия и сред­нее квадратическое отклонение по всем четырем альтернативным вариантам ин­вестирования примера 1, а также коэффициент вариации, который мы рассмотрим в сле­дующем разделе. Мы видим, что ГКО-ОФЗ обладают наименьшими значениями показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения, а проекту 2 соответствуют наибольшие их значения.

По данным табл. 3.3 можно, казалось бы, прийти к заключению, что казна­чейские векселя — наименее рисковый вариант инвестирования, а проект 2 — наиболее рисковый. Однако это не всегда верно; перед тем как сделать оконча­тельный вывод, необходимо принять во внимание ряд других факторов, таких как численные значения ожидаемой доходности, асимметрия распределения, до­стоверность наших оценок распределения вероятностей и взаимосвязь каждого актива с другими активами, включенными в портфель инвестиций.