Лекция 13. Распределения Стьюдента, Фишера. Числовые характеристики случайных величин

Распределение Стьюдента ( t-распределение )

Пусть Х ₀, Х ₁, …, Х _n – независимы и Х _i ~ ~ N (0;σ), σ>0,тогда случайная величина имеет по определению t -распределение c n степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

.

Если ν → ∞, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

График плотности распределения симметричен относительно прямой х = 0. По виду он напоминает нормальное распределение, но он более «пологий», с утяжеленными хвостами.

Обозначим F (x, σ) – функцию распределения случайной величины t _n. Если Х_i ~ N (0;σ), то случайные величины также независимы и Y_i ~ N (0, 1). Тогда

.

Таким образом, t-распределение не зависит от параметра σ.

Аналогично предыдущему можно показать, что если X_i – независимы, и Х_i ~ N (a;σ), то распределение Стьюдента имеет также величина .

Если Х_i ~ N (0, 1), i =1, …,n, то получим, что распределение Стьюдента имеет случайная величина , где имеет c²-распределение.

Распределение Стьюдента табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве средних).

Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть Х ₀, Х ₁, …, Х_{n 1,} Х_{n 1+1}, …, Х_{n 1+ n 2} – независимые нормально распределенные случайные величины Х_i ~ N (0;σ), i = 1,2, …, n₁+n₂. Тогда случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы n ₁, n ₂. Распределение Фишера также не зависит от параметра s, т.е.

.

Если X_i – независимые и Х_i ~ N (a;σ), то

имеет распределение Фишера.

Положим s = 1, получим, что распределение Фишера имеет случайная величина

,

где – случайные величины, имеющие распределение .

При больших n ₁, n ₂ распределение Фишера приближается к нормальному.

Распределение Фишера табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий).