double arrow

Развитие математики в XVIII веке

Одной из характерных черт развития математического анализа в XVIII веке, было разветвление на несколько наук: дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, в свою очередь расчленившейся на учение об обыкновенных дифференциальных уравнениях и об уравнениях в частных производных, вариационного исчисления, теории специальных функций, начал теории функций комплексного переменного. Выделяется также учение о бесконечных рядах. В рамках дифференциального и интегрального исчисления в качестве нового отдела вырастает анализ функций многих переменных.

1. В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самыми крупными математиками XVIII века можно считать следующих ученых:

Лейбниц (1646‑1716);

Братья Бернулли: Якоб (1654‑1705), Иоганн (1667‑1748);

Пьер Луи́ де Мопертюи́ (1698‑1759)

Даниил Берну́лли (1700–1782)

Эйлер (1707–1783);

Алексис Клод Клеро (1713–1765);

Жан Лерон д’Аламбер (1717–1783);

Жозеф Луи Лагранж (1736‑1813);

Лаплас (1749‑1827);

Научная деятельность в основном была сосредоточена в академиях, среди которых выдающееся место занимали Парижская, Берлинская и Петербургская. Преподавание в университетах имело меньшее значение. Это был период, когда некоторые из ведущих европейских стран управлялись теми, кого, смягчая выражения, называют просвещенными деспотами: это прусский король Фридрих II, российская императрица Екатерина II и французские короли Людовик XV и Людовик XVI. Притязания этих деспотов на славу частично основаны на том, что они любили окружать себя учеными людьми. Такая любовь была чем-то вроде интеллектуального снобизма, но он умерялся в известной мере пониманием значения естествознания и прикладной математики в деле улучшения мануфактур и повышения боеспособности вооруженных сил. Например, говорят, что отличные качества французского флота связаны с тем, что при конструировании фрегатов и линейных кораблей кораблестроители частично основывались на математической теории. Работы Эйлера изобилуют применениями к вопросам, имеющим значение для армии и флота.

Астрономия продолжала играть свою выдающуюся роль в качестве приемной матери математических исследований, пользуясь покровительством королей и императоров.

2. В Швейцарии средоточием науки был Базель ‑ свободный имперский город с 1263 г. Науки и искусства процветали в Базеле, как и в голландских городах, под управлением купеческого патрициата. К этому базельскому патрициату принадлежала купеческая семья Бернулли, которая в предыдущем столетии переехала туда из Антверпена, когда этот город был захвачен испанцами. С конца семнадцатого столетия до настоящего времени эта семья в каждом поколении давала ученых. Воистину во всей истории науки трудно найти семью, поставившую более внушительный рекорд. Родоначальниками этой династии были два математика, Якоб и Иоганн Бернулли. Якоб изучал теологию, Иоганн изучал медицину, но когда в лейпцигских Acta Eruditorum появились статьи Лейбница, оба они решили стать математиками. Они стали первыми выдающимися учениками Лейбница. В 1687 г. Якоб занял кафедру математики в Базельском университете, где он преподавал до своей смерти в 1705 г. Иоганн в 1697 г. стал профессором в Гронингене (Голландия), а после смерти брата перешел на его кафедру в Базеле, где преподавал сорок три года. Якоб начал переписываться с Лейбницем в 1687 г. Затем, постоянно обмениваясь мыслями с Лейбницем и между собой, не раз вступая в ожесточенное соперничество друг с другом, оба брата начали открывать те сокровища, которые содержались в путепролагающем достижении Лейбница. Список их результатов длинен и содержит не только многое из того, что сейчас входит в ваши элементарные учебники дифференциального и интегрального исчисления, но и интегрирование ряда обыкновенных дифференциальных уравнений. Якобу принадлежит применение полярных координат, исследование цепной линии (уже рассмотренной Гюйгенсом и другими), лемнискаты (1694г.) и логарифмической спирали. В 1690г. он нашел так называемую изохрону, которую Лейбниц в 1687 г. определил как кривую, вдоль которой тело падает с постоянной скоростью ‑ полукубическую параболу. Якоб также исследовал изопериметрические фигуры (1701 г.), что привело его к задаче из вариационного исчисления.

Якоб Бернулли был также одним из первых исследователей в теории вероятностей, и по этому предмету он написал «Искусство предположения», опубликованную посмертно, в 1713 г. В ее первой части перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх, в остальных частях рассматриваются перестановки и сочетания, а главным результатом является «теорема Бернулли» о биномиальных распределениях. При рассмотрении треугольника Паскаля в этой книге появляются «числа Бернулли».

3. Работы Иоганна Бернулли тесно связаны с работами его старшего брата, и не всегда легко различить их результаты. Иоганна часто рассматривают как изобретателя вариационного исчисления вследствие его вклада в задачу о брахистохроне. Это кривая быстрейшего спуска для материальной точки, которая движется в поле тяготения от заданной начальной к заданной конечной точке, кривая, которую исследовали Лейбниц и оба Бернулли в 1697 и в последующие годы. В это время они открыли уравнение геодезических линий на поверхности. Решением задачи о брахистохроне является циклоида. Эта кривая решает также задачу о таутохроне ‑ кривой, вдоль которой материальная точка в гравитационном поле достигает наинизшей точки за время, которое не зависит от исходной точки движения. Гюйгенс открыл это свойство циклоиды я использовал его для построения таутохронных часов с маятником (1673 г.), период колебания которого не зависит от амплитуды.

В числе других Бернулли, повлиявших на развитие математики, есть два сына Иоганна: Николай и Даниил. Они были приглашен в Петербург. Задача по теории вероятностей, которую предложил Николай Бернулли известна как Петербургская задача (или, более выразительно, Петербургский парадокс). Этот сын Иоганна умер молодым, но другой сын, Даниил, дожил до глубокой старости. До 1777 г. он был профессором Базельского университета. Его плодовитая деятельность посвящена главным образом астрономии, физике и гидродинамике. Его «Гидродинамика» появилась в 1738 г., и одна из теорем этой книги, о гидравлическом давлении, носит его имя. В том же году он заложил основы кинетической теории газов; вместе с Даламбером и Эйлером он изучал теорию колебаний струн. Его отец и дядя развивали теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, Даниил же был пионером в области уравнений в частных производных.

4. Из Базеля вышел также самый плодовитый математик всех времен ‑ Леонард Эйлер. Когда в 1725 г. сыновья Иоганна уехали в Петербург, молодой Эйлер последовал за ними и оставался в Петербургской академии до 1741 г. С 1741 по 1766 г. Эйлер находился в Берлинской академии под особым покровительством Фридриха II, а с 1766 до 1783 г. он снова в Петербурге, теперь уже под эгидой императрицы Екатерины. Жизнь этого академика восемнадцатого столетия была почти целиком посвящена работе в различных областях чистой и прикладной математики. Хотя он потерял в 1735г. один глаз, а в 1766г. ‑ второй, ничто не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530 его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Это довело число его работ до 771, но Густав Энестрем дополнил этот список до 886. Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики, существовавших в его время. Он публиковал свои открытия не только в статьях различного объема, но и во многих обширных руководствах, где упорядочен и кодифицирован материал, который собирали поколения. В некоторых областях изложение Эйлера было почти что окончательным.

Например, наша нынешняя тригонометрия с ее определением тригонометрических величин как отношений и с принятыми в ней обозначениями восходит к «Введению в анализ бесконечных» (1748 г.) Эйлера. Колоссальный авторитет его руководств привел к упрочению ряда его обозначений в алгебре и в анализе; Лагранж, Лаплас и Гаусс знали Эйлера и следовали за ним во всей своей деятельности.

Другим большим и богатым по содержанию руководcтвом Эйлера было «Дифференциальное исчисление» (1755 г.), за которым последовали три тома «Интегрального исчисления» (1768‑1774 гг.). Здесь мы находим не только наше элементарное дифференциальное и интегральное исчисление, но также теорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многими приложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы.

Раздел о дифференциальных уравнениях с его разграничением «линейных», «точных» и «однородных» уравнений все еще является образцом для наших элементарных учебников по этому предмету. «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» (1736г.) Эйлера была первым учебником, в котором ньютоновская динамика материальной точки была развита аналитическими методами. За ней последовала «теория движения твердых тел» (1765 г.), в которой таким же образом трактуется механика твердых тел. Этот трактат содержит эйлеровы уравнения для тела, вращающегося вокруг точки. «Полное введение в алгебру» (1770г), написанное по-немецки и продиктованное слуге, стало образцом для многих позднейших учебников по алгебре. В ней изложение доведено до теории уравнении третьей и четвертой степени.

В 1744 г появилось сочинение Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума». Это было первое изложение вариационного исчисления, оно содержало эйлеровы уравнения и многие приложения. Многие другие результаты Эйлера вошли в его работы меньшего объема, содержащие немало драгоценностей, ныне мало известных.

Несколько статей посвящены занимательной математике (семь кёнигсбергских мостов, задача о шахматном коне), Одни лишь результаты Эйлера в области теории чисел (к его открытиям в этой области принадлежит закон квадратичной взаимности) дали бы ему место в пантеоне славы.

Деятельность Эйлера в значительной мере была посвящена астрономии, причем особое внимание он уделял теории движения Луны, этому важному разделу задачи трех тел. Его «Теория движения планет и комет» (1774г.) является трактатом по небесной механике. С этим трудом Эйлера связаны его исследования о притяжении эллипсоидов (1768 г.).

У Эйлера есть книги по гидравлике, по кораблестроению, по артиллерии. В 1769‑1771 гг. появились три тома его «Диоптрики» с теорией преломления лучей в системе линз. В 1739 г. появилась его новая теория музыки, о которой говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математичка для музыкантов.

5. Хотя Эйлер неоспоримо был ведущим математиком этого периода, во Франции по-прежнему появлялись вполне оригинальные работы. Здесь более чем в какой-либо другой стране математику рассматривали как науку, которая должна была довести теорию Ньютона до большего совершенства.

Теория всемирного тяготения обладала большой привлекательностью в глазах философов Просвещения, которые пользовались ею как оружием в своей борьбе против остатков феодализма. Католическая церковь включила труды Декарта в индекс запрещенных книг 1664 г., но около 1700 г. его теории стали модными даже в консервативных кругах. Проблема: ньютонианство или картезианство стала на некоторое время наиболее интересной темой не только для ученых, по и в салонах. «Письма об англичанах» (1734 г.) Вольтера много сделали для знакомства французских читателей с идеями Ньютона; подруга Вольтера мадам Дю Шатле даже перевела «Начала» на французский язык (1759г.). Существенно спорным вопросом для обеих школ был вопрос о форме Земли.

Согласно космогонии, которую поддерживали картезианцы, Земля у полюсов была удлинена, а по теории Ньютона она должна была там быть сплющена. Картезианские астрономы Кассини (отец Жан Доминик и сын Жак; отец известен в геометрии благодаря овалам Кассини, 1680г.) промерили дугу меридиана во Франции между 1700 и 1720 гг. и отстаивали картезианский вывод. Возник спор, в котором приняли участие многие математики.

В 1735 г. в Перу послали экспедицию, за которой в 1736‑1737 гг. последовала другая экспедиция в Лапландию, под руководством Пьера Мопертюи, с целью промерить градус долготы. В результате обеих экспедиций восторжествовала теория Ньютона, это было как ее триумфом, так и триумфом самого Мопертюи. Отныне знаменитый «Великий сплющиватель» стал президентом Берлинской академии и много лет купался в лучах своей славы при дворе Фридриха II. Это продолжалось до 1750г., когда он вступил в горячий спор со швейцарским математиком Самуилом Кёнигом относительно принципа наименьшего действия в механике, указанного, быть может, уже Лейбницем. Мопертюи, как Ферма до него и Эйнштейн после него, искал какой-то общий принцип, который мог бы объединить законы вселенной. Формулировка Мопертюи не была отчетливой, он определял свое ≪действие≫ как величину mvs (m ‑ масса, v ‑ скорость, s ‑ расстояние). У него это сочеталось с доказательством существования Бога. Этот спор особенно обострился тогда, когда Вольтер высмеял неудачливого президента в своей «Диатрибе доктора Акакия, врача папы» (1752 г.). Ни поддержка короля, ни защита Эйлера не могли уже вернуть Мопертюи присутствие духа, и павший духом математик вскоре скончался в Базеле, в доме Бернулли.

Эйлер вновь выдвинул принцип наименьшего действия в формулировке, что должен быть минимумом ∫ mvds, и, кроме того, он не вдавался в метафизику Мопертюи. Таким образом этот принцип был поставлен на твердую почву, и им пользовался Лагранж, а позже ‑ Гамильтон. Значение «гамильтониана» в современной математической физике показывает, насколько существенным было то, что внес Эйлер в спор между Мопертюи и Кёнигом.

Среди математиков, побывавших вместе с Мопертюи в Лапландии, был Алексис Клод Клеро. Клеро восемнадцати лет от роду опубликовал «Изыскания о кривых двоякой кривизны», первый опыт в области аналитической и дифференциальной геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою «Теорию фигуры Земли» (1743г.), образцовое произведение по гидростатике и протяжению эллипсоидов вращения. Лаплас мог его улучшить лишь в незначительных деталях. За этой книгой последовала «Теория Луны» (1752г.), содержавшая дополнения к эйлеровой теории движения Луны и к общей задаче трех тел. Клеро принадлежат также результаты в теории криволинейных интегралов и дифференциальных уравнений. Один из типов рассмотренных им дифференциальных уравнений известен под его именем, и с этим связан один из первых примеров особых решений.

6. Интеллектуальная оппозиция старому режиму после 1750 г. имела своим центром знаменитую 28-томную «Энциклопедию» (1751 ‑ 1772 г.). Ее редактором был Дени Дидро, под чьим руководством «Энциклопедия» стала подробным изложением философии века Просвещения. Дидро не обладал большими познаниями в математике, ведущим математиком энциклопедистов был Жан ле Рон д’Аламбер, внебрачный сын аристократической дамы, оставленный как подкидыш вблизи церкви святого Жана ле Рона в Париже. Его ранние и блестящие успехи облегчили его карьеру. В 1754г. он стал непременным секретарем Французской академии и в качестве такового наиболее влиятельным ученым Франции. В 1743г. появился его «Трактат по динамике», который содержит метод сведения динамики твердых тел к статике, известный как «принцип д’Аламбера». Он продолжал писать по многим прикладным вопросам, в частности по гидродинамике, аэродинамике и задаче трех тел. В 1747г. он опубликовал теорию колебания струн, что делает его, вместе с Даниилом Бернулли, основателем теории уравнений в частных производных.

7. Де Муавр, Стирлинг и Ланден ‑ добротные представители английской математики восемнадцатого века. Но мы должны сказать и о некоторых других англичанах, хотя никто из них не мог равняться со своими коллегами на континенте. Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс. Были и глубокие общественные причины, в силу которых английские математики не освобождались от флюксионных методов Ньютона. В Англии, которая вела непрерывную торговую войну с Францией, развивалось чувство интеллектуального превосходства, которое поддерживалось не только победами, военными и торговыми, но тем восхищением, которое вызывала у континентальных философов английская политическая система. Англия стала жертвой своего воображаемого совершенства. Есть сходство между английской математикой восемнадцатого века и античной математикой позднеалександрийской эпохи. В обоих случаях неподходящие обозначения технически затрудняли прогресс, а причины того, что математики ими удовлетворялись, были более глубокого общественного характера. Ведущим английским, вернее пользовавшимся английским языком, математиком этого периода был Колин Маклорен, профессор Эдинбургского университета, последователь Ньютона, с которым он был лично знаком. Его исследования и обобщения флюксионного метода, работы по кривым второго и более высокого порядка и по притяжению эллипсоидов шли параллельно с исследованиями Клеро и Эйлера. Некоторые из теорем Маклорена вошли в нашу теорию плоских кривых и в нашу проективную геометрию. В его «Органической геометрии» (1720 г.) мы находим замечание, известное как парадокс Крамера: кривая n -го порядка не всегда определяется n (n +3)/2 точками, так что девять точек могут не определять однозначно кривую третьего порядка, тогда как может оказаться, что десяти точек слишком много. Здесь же мы находим кинематические методы для описания плоских кривых различных порядков.

«Трактат о флюксиях» Маклорена (2 тома, 1742г.), написанный в защиту Ньютона против Беркли, читать трудно из-за его архаичного геометрического языка, что находится в резком контрасте с доступностью работ Эйлера. Маклорен обычно стремился к строгости Архимеда. В книге содержатся исследования Маклорена о притяжении эллипсоидов вращения и его теорема, что два таких конфокальных эллипсоида притягивают частицу на оси или на экваторе силами, пропорциональными их объемам. В этом трактате Маклорен оперирует также со знаменитым «рядом Маклорена». Впрочем, этот ряд не был новым открытием, так как он появился в «Методе приращений» (1715г.), написанном Бруком Тейлором, в то время секретарем Королевского общества, а еще раньше был открыт И. Бернулли и по сути был известен Лейбницу. Маклорен признает то, что он полностью обязан Тейлору.

Тейлор явно приводит этот ряд для x =0, что многие учебники еще упорно называют рядом Маклорена В выводе Тейлора нет соображений относительно сходимости ряда, но Маклорен положил начало таким исследованиям и даже владел так называемым интегральным признаком сходимости бесконечных рядов. Полностью важность ряда Тейлора была признана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем «Дифференциальном исчислении» (1755г.). Лагранж добавил к нему остаточный член и положил его в основу своей теории функций. Сам Тейлор использовал свои ряд для интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Он начал исследование колебаний струны, что затем было предметом работ д’Аламбера и др.

8. Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в итало-французской семье. Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики артиллерийской школы в Турине (1755г). В 1766г. Эйлер уехал из Берлина в Петербург, Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин и в этом скромном приглашении было сказано что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». Лагранж оставался в Берлине до смерти Фридриха (1786г.), после чего он переехал в Париж. Во время революции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.), а затем Политехнической школы (1797г.).

Исследования по вариационному исчислению относятся к раннему периоду деятельности Лагранжа. Мемуар Эйлера по этому вопросу появился в 1755г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей той простотой, которая желательна в вопросе чистого анализа». В результате появилось чисто аналитическое вариационное исчисление Лагранжа (1760‑1761 гг.), в котором не только много оригинальных открытий, но и отлично упорядочен и переработан накопленный исторический материал, что характерно для всего творчества Лагранжа. Лагранж сразу применил свою теорию к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову формулировку принципа наименьшего действия. Многие из основных идей «Аналитической механики» (1788 г.) восходят к туринскому периоду жизни Лагранжа. Он принял участие также в разработке одной из основных проблем своего времени, теории движения Лупы. Он дал первые частные решения задачи трех тел.

Теорема Лагранжа утверждает, что можно найти такое начальное положение трех тел, при котором их орбитами будут подобные эллипсы, описываемые за одно и то же время (1772г.). В 1767г. появился его мемуар «О решении численных уравнений», в котором он изложил методы отделения вещественных корней алгебраического уравнения и их приближенного вычисления с помощью непрерывных дробей. За этим в 1770г. последовали «Размышления об алгебраическом решении уравнений», в которых рассматривается основной вопрос, почему те методы, которые позволяют решать уравнения не выше четвертой степени, ничего не дают для степени, большей четырех. Это привело Лагранжа к рациональным функциям от корней и к исследованию их поведения при перестановках корней. Такой метод не только был стимулом для Руффини и Абеля в их работах относительно случая n > 4, но он привел Галуа к его теории групп. Лагранж также продвинул теорию чисел, в которой он исследовал квадратичные вычеты, и среди ряда других теорем доказал то, что каждое целое число есть сумма четырех или меньшего числа квадратов Вторую часть своей жизни Лагранж посвятил созданию больших трудов: «Аналитической механики» (1788 г.), «Теории аналитических функций» (1797 г.) и ее продолжения – «Лекций по исчислению функций» (1801 г.). Обе книги по теории функций являются попыткой подвести надежный фундамент под анализ, сведя его к алгебре. Лагранж отбросил теорию пределов в том виде, как она была указана Ньютоном и сформулирована Даламбером. Он не мог как следует уяснить себе, что происходит, когда Δ yx достигает своего предела. Говоря словами Лазаря Карно, «организатора победы» во времена французской революции, который также был недоволен ньютоновским методом бесконечно малых: «Этот метод имеет тот большой недостаток, что количества рассматриваются в состоянии, когда они, так сказать, перестают быть количествами; ибо хотя мы всегда хорошо представляем себе отношение двух количеств, пока они остаются конечными, с этим отношением наш ум не связывает ясного и точного представления, как только его члены, оба в одно и то же время, становятся ничем» (Л. Карно «Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых»). Метод Лагранжа отличается от метода его предшественников. Он начинает с ряда Тейлора, который выводится вместе с остаточным членом, доказывая несколько наивным способом, что ≪произвольная≫ функция f(x) может быть разложена в такой ряд с помощью чисто алгебраического процесса. Затем производные f’(x), f"(x),... определяются как коэффициенты при h, h2,... в разложении Тейлора f(x + h) по степеням h. (Обозначения f'(x), f"(х),... принадлежат Лагранжу.)

Хотя этот алгебраический метод обоснования анализа оказался неудовлетворительным, и хотя Лагранж не уделил достаточного внимания сходимости рядов, такая абстрактная трактовка функций была значительным шагом вперед. Здесь впервые выступает на сцену теория функций вещественного переменного с применениями к разнообразным задачам алгебры и геометрии. «Аналитическая механика» наиболее ценный труд Лагранжа, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая появилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел. Результаты Эйлера, д’Аламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления самого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике ‑ принципа д’Аламбера. Это естественным образом привело к обобщенным координатам и к уравнениям движения в их лагранжевой форме:

Теперь уже был полностью отброшен геометрический подход Ньютона; книга Лагранжа была триумфом чистого анализа, и ее автор зашел настолько далеко, что подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только алгебраические операции». Это характеризует Лагранжа как первого чистого аналитика.

9. Последним из ведущих математиков восемнадцатого века является Пьер Симон Лаплас. Сын скромного землевладельца в Нормандии, он учился в Бомоне и Кане, с помощью д’Аламбера стал профессором математики военной школы в Париже. Он занимал и несколько других преподавательских и административных должностей, во время революции принимал участие в организации как Нормальной, так и Политехнической школы. Наполеон удостоил его многих почестей, но то же делал и Людовик XVIII. В противоположность Монжу и Карно Лаплас легко менял свои политические привязанности, и при всем том в нем было кое-что от сноба. Впрочем, такая неустойчивость позволила ему продолжать свою чисто математическую деятельность при всех политических изменениях во Франции.

Двумя большими трудами Лапласа, в которых дана сводка не только его исследований, но и всех предыдущих работ в соответствующих областях, являются «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г.) и «Небесная механика» (1799‑1825 гг., в 5 томах). Обоим монументальным произведениям сопутствовали развернутые популярные изложения

«Изложение системы мира» (1796г.) содержит гипотезу о происхождении солнечной системы из туманности, предложенную до того Кантом в 1755г. (и даже раньше Канта Сведенборгом в 1734г.). «Небесная механика» является завершением трудов Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа и Лапласа по теории фигуры Земли, теории Луны, по задаче трех тел и теории возмущений планет, включая основную проблему об устойчивости солнечной системы. Термин «уравнение Лапласа» напоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики» является теория потенциала.

«Философский опыт относительно вероятностей» (1814 г.) легко читающееся введение в теорию вероятностей. Оно содержит лапласово «отрицательное» определение вероятности с помощью «равновероятных событий»: «Теория вероятностей состоит в сведении всех событий одного и того же рода к некоторому числу равновероятных случаев, т. е. случаев, относительно существования которых мы в равной мере не осведомлены, и в определении числа тех случаев, которые благоприятны для события, вероятность которого мы ищем». Вопросы, касающиеся вероятностей, согласно Лапласу возникают потому, что мы частично осведомлены, частично нет. Это привело Лапласа к его знаменитому утверждению, в котором воплощено то, как восемнадцатое столетие понимало механистический материализм: «Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы, а также относительное положение всех составляющих ее частиц и который был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение как величайших тол вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было бы ничего неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, и прошлое. То совершенство, какое человеческий разум был в состоянии придать астрономии, дает лишь слабое представление о таком уме». Трактат «Аналитическая теория вероятностей» настолько богат содержанием, что многие позднейшие открытия теории вероятностей можно обнаружить у Лапласа. В этом внушительном томе подробно рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, теорема Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов, изобретенная Лежандром. Руководящей мыслью является применение «производящих функций»; Лаплас показал значение этого метода для решения разностных уравнений. Здесь вводится «преобразование Лапласа», которые позже стало основой операционного исчисления Хевисайда. Лаплас также спас от забвенья и заново сформулировал ту теорию, набросок которой дал Томас Байес, малоизвестный английский священник, работы которого были опубликованы посмертно в 1763‑1764гг. Эта теория стала известна как теория вероятностей a posteriori.

Ниже приведен вклад в развитие математики четырех самых выдающихся ученых XVIII столетия.

Даниил Берну́лли (1700–1782), швейцарский физик-универсал и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики, сын Иоганна Бернулли. Академик и иностранный почетный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского Королевского общества (1750). Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений — его считают, наряду с д’Аламбером и Эйлером, основателем математической физики. утверждением, что причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической «Гидродинамике» он вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости (уравнение Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С точки зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля – Мариотта.

Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввел понятие гармонического колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.

В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов, численным методам и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.

Первое место в разработке дифференциального и интегрального исчисления, как и всего анализа в целом, принадлежало в течение почти пятидесяти лет рассматриваемой эпохи Леонарду Эйлеру (1707–1783). Л. Эйлер – математик, механик, физик и астроном, академик Петербургской АН (1726–1741 гг. и с 1766 г), с 1741 по 1766 гг. в Берлинской АН. Эйлер обладал феноменальной трудоспособностью, его научные интересы относились ко всем областям естествознания. В 1736 г. вышел его трактат по механике, в котором он впервые изложил динамику точки с помощью математического анализа и ввел силы инерции. Один из основоположников дифференциального и интегрального исчисления, а также вариационного исчисления. В книге «Корабельная наука» (1749) заложил основы теории колебаний и теории устойчивости. Эйлер является автором около 850 научных трудов.

Жан Лерон д’Аламбер (1717–1783) – французский ученый-энцикло­педист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук (1740), Французской Академии (1754), Петербургской (1764) и других академий. В 1743 г. вышел «Трактат о динамике», где сформулирован фундаментальный «Принцип д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Основные математические исследования д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения).

Выдающийся вклад д’Аламбер внес также в небесную механику. Он обосновал теорию возмущения планет и первым строго объяснил теорию предварения равноденствий и нутации.

Одной из основных проблем, которую разрешали крупнейшие математики XVIII в., была теория движения Луны. Ее разработка имела глубокое теоретическое значение и была важна для практики. Практическое значение этой теории было связано с созданием метода достаточно точного определения географической долготы мест. В основном теория движения Луны была создана в середине века Л. Эйлером, А. Клеро (1713–1765) и д’Аламбером. В ряде мемуаров 1747–1756 гг. д’Аламбер независимо от своих двух великих современников дал теорию движения Луны с тщательно вычисленными таблицами, которые он постепенно уточнял и улучшал. В трактате, вышедшем в свет в 1749 г., д’Аламбер показал, что не только явление прецессии, ранее математически исследованное Ньютоном, но и явление нутации, незадолго до этого обнаруженное Брадлеем, обусловлены гравитационным воздействием Луны.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). Великий математик и механик. Родился в Турине, окончил Туринский университет и в 17 лет начал преподавать в Артиллерийской школе в Турине, а в 19 лет стал ее профессором. В 1766 году перебирается в Берлин и становится президентом Берлинской АН вместо вернувшегося в Петербург Эйлера. Берлинский период был самым плодотворным в творчестве Лагранжа. Там он подготовил свою знаменитую «Аналитическую механику», которая была опубликована 1788 году уже после того, как автор перебрался в Париж. Во Франции Лагранж ведет активную преподавательскую работу, а также решает и практические задачи.

5-я лекция на тему:

Развитие электромагнитной теории

и электротехники

Первые наблюдения явлений, известных под названием электричества и магнетизма, относятся ко времени античности и были произведены народами, живущими в бассейне Средиземного моря, особенно греками. Началось с обнаружения свойства натертого янтаря притягивать легкие предметы. Кроме того, в древнем мире наблюдали явления атмосферных разрядов и анестезирующее действие некоторых видов рыб при соприкосновении их с человеческим телом. Но представлений о том, что в этом проявляются электрические явления, не возникало.

Сам термин «электричество» появился на рубеже XVI и XVII веков, а затем постепенно наполнялся содержанием. Начиная с XVIII века, происходит более быстрое накопление знаний, но только в XIX веке электричество стало служить человеку.

Переломный момент в истории электричества произошел в 1600 г., когда вышел в свет замечательный труд английского естествоиспытателя Уильяма Гильберта «De Magnete», представляющий собой один из первых научных трактатов, написанных на основе экспериментов. До этого считалось, что электрические силы присущи только янтарю и одной из разновидности турмалина – линкуриону, а магнитные только железу. Гильберт экспериментально доказал, что электризация при трении обнаруживается у многих веществ – стекла, смолы, минералов и пр., а Земля является огромным магнитом, хотя и не состоит из одного только железа. Гильберт ввел понятие «vis electrica» («сила янтаря»), т.е. электрической силы. С XVIII века производный термин «electricitas» стал широко применяться. В русской научной литературе в XVIII веке получил распространение термин «электричество».

Мушенбрук обратил внимание на различный характер электризации стекла и янтаря, что способствовало открытию в 1733 году Шарлем Франсуа Дюфе «смоляного» и «стекольного» электричества (положительного и отрицательного, согласно терминологии Бенджамина Франклина). К числу наиболее известных достижений Мушенбрука принадлежит лейденская банка – первый конденсатор, изобретенный им в 1745 году. При этом он создал первый прообраз его внешней обкладки (в первых опытах в ее качестве использовалась рука экспериментатора, державшего банку). Мушенбрук обратил внимание на физиологическое действие разряда, сравнив его с ударом ската (ученому принадлежало первое использование термина «электрическая рыба»), провел опыты для проверки своих предположений. При этом он отрицал электрическую природу молнии, пересмотрев свои взгляды лишь после знаменитых опытов Франклина.

Франклин объяснил принцип действия лейденской банки, установив, что главную роль в ней играет диэлектрик, разделяющий проводящие обкладки; ввел общепринятое теперь обозначение электрически заряженных состояний "+" и "-"; разработал общую "унитарную" теорию электрических явлений, исходившую из предположения о существовании единой электрической субстанции, недостаток или избыток которой обусловливает знак заряда тела. Большая заслуга Франклина – установление тождества атмосферного и получаемого с помощью трения электричества и доказательство электрической природы молнии. Обнаружив, что металлические острия, соединённые с землёй, снимают электрические заряды с заряженных тел даже без соприкосновения с ними, Франклин предложил эффективный метод защиты от грозового разряда – молниеотвод.

Франклину принадлежит также ряд других технических изобретений: лампы для уличных фонарей, экономичная "франклиновская" печь, особый музыкальный инструмент, "электрическое колесо", вращающееся под действием электростатических сил, применение электрической искры для взрыва пороха и др.

Сущность электрических и магнитных явлений и связи между ними тогда не знали. Гильберт считал эти явления совершенно различными, и этот взгляд главенствовал до середины XVIII века, когда, благодаря трудам члена Петербургской АН Франца Ульриха Теодора Эпинуса (1724–1802), было положено начало новым взглядам: наука обогатилась представлениями о сходстве электрических и магнитных явлений. Вплоть до конца XVIII века ученые занимались только изучением статического электричества и его применением в практических целях: для лечебных целей, для взрыва пороха от искр при разряде и для передачи зарядов на расстояние – первой попыткой создания электрического телеграфа.

В течение XVIII века накопился большой опытный материал о статическом электричестве. Было установлено, существование проводников и непроводников электричества, доказано существование двух его родов – положительного (стеклянного) и отрицательного (смоляного). Удалось найти более совершенные методы получения значительных статических зарядов с помощью машин, изобрести способы их накопления при помощи лейденских банок и конденсаторов. Было обнаружено явление электростатической индукции. В конце XVIII века Кулон установил и количественную характеристику взаимодействия зарядов (закон Кулона).

Хотя все эти достижения еще не предвещали широкого применения электричества для практических целей, они имели существенное значение. Были созданы первые теории электричества, усовершенствована методика эксперимента, разработан ряд приборов.

В результате процесса изучения электрического тока, электротехника в последней трети XIX века стала важной самостоятельной отраслью науки и техники и оказала революционизирующее влияние на всю технику в целом, а в связи с этим и на все развитие производительных сил общества.

Разнообразные применения электрической энергии можно разделить на две группы:

– в первой электрическая энергия используется в значительных количествах с целью ее превращения в другие виды энергии: механическую (привод, тяга), световую (освещение), тепловую (термические процессы, отопление), химическую (электролиз) и т.п.

– ко второй группе относятся такие применения электрической энергии, при которых, хотя и происходят ее превращения в другие виды энергии, но они не являются целью. Здесь используются электрические импульсы или малые токи для воздействия на какие-либо индикаторы или приемники (телеграф, телефон, приборы управления или регулирования и т.д.).

В последнее десятилетие XVIII века внимание ученых обратилось к новым электрическим явлениям, обнаруженных Л. Гальвани и развитых Алессандро Вольта. Был найден новый вид электричества, который считали отличным от статического – электрический ток. В 1800 году Вольта, анализируя опыты и выводы Гальвани, приходит к построению первых генераторов электрического тока. Это Вольтов столб и чашечная батарея. Начался первый период электротехники – период изучения гальванического тока. Попытки его применения показали, что электрический ток может дать для практики то, что не способны дать другие области физики.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: