Дифференциальное уравнение первого порядка

Общий вид ДУ первого порядка: F (x;y;y') = 0

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:

1) независимую переменную ;

2) зависимую переменную (функцию);

3) первую производную функции: .

Если общее уравнение можно разрешить относительно переменной , то его записывают в виде:

· = f(x,y) - называют ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной.

Это уравнение устанавливает зависимость между координатами точки (x,y) и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Т.о. Геометрический смысл ДУ первого порядка: = f(x,y) – даёт совокупность направлений (поле направлений) на плоскости О ху.

ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно записать в дифференциальной форме: Р(х;у) dx + Q (х;у) dy = 0, где Р(х;у), Q (х;у) – известные функции.

Данное уравнение удобно тем, что переменные х и у в нём равноправны., т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Т.о. можно перейти от одного вида записи ДУ к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами.)Например, решением уравнения = 2х является функция

= х ², а также = х ² + 1, = х ² - и вообще, = х ² + С,, где С – const.

Поэтому, чтобы решение ДУ имело смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х = х₀ функция должна быть равна заданному числу ₀ называется начальным условием.

Начальное условие записывается в виде (х₀) = ₀ или | _{х = х0} = ₀

Общим решением ДУ первого порядка называется функция = j(х,С), содержащя одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция j(х, С) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С.
2. Каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной С= С_0, что функция = j(х, С₀), удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется функция = j(х,С₀), полученная из общего решения = j(х,С), при конкретном значении постоянной С= С_0.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Ф (х, у, С) = 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ.

Уравнение Ф (х, у, С) = 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения j(х,С) есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху, частное решение = j(х, С₀) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (х₀,у_0.).

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении = f(x,y) функция f(x,y) и её частная производная f_у¢(x,y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (х₀,у_0.), то существует единственное решение у = j(х,) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (х₀) = ₀ или | _{х = х0} = ₀