Погрешности измерений

Погрешность результата измерения (погрешность измерения) – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Формально погрешность можно представить выражением

D = X – Q,

где D – абсолютная погрешность измерения;

X – результат измерения физической величины;

Q – истинное значение измеряемой физической величины (физическая величина, представленная ее истинным значением).

Истинное значение величины всегда остается неизвестным (его применяют только в теоретических исследованиях) и на практике вместо него используют действительное значение величины х _д в результате чего погрешность измерения Δ x _измопределяют по формуле:

Δ x _изм = x _изм– х _д,

где x _изм – измеренное значение величины.

Классификация погрешностей измерений может осуществляться по разным классификационным признакам.

В зависимости от источников возникновения погрешности можно разделить на следующие группы:

· погрешности средств измерений(они же «аппаратурные погрешности» или «инструментальные погрешности»);

· методические погрешности или «погрешности метода измерения»;

· погрешности вызванные отличием условий измерения от нормальных («погрешности условий»);

· субъективные погрешности измерения («погрешности оператора», или же «личные» либо «личностные» погрешности).

Инструментальная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Фактически к инструментальным погрешностям относятся погрешности всех применяемых в данных измерениях технических средств и вспомогательных устройств, влияющих на результат измерений, в том числе погрешности прибора, мер для его настройки, дополнительных сопротивлений, шунтов, установочных узлов или соединительных проводов и т.д.

При измерении диаметра d детали индикатором часового типа на стойке (рис. 2.2), инструментальные погрешности складываются из погрешностей самой измерительной головки 1, погрешностей стойки 2 и погрешностей блока плоскопараллельных концевых мер длины 3, на который настраивался прибор.

Рис. 2.2. Схема для оценки составляющих

инструментальной погрешности

В свою очередь каждую из приведенных инструментальных составляющих погрешности измерения можно разбить на элементарные составляющие. Например, погрешность измерительной головки 1 включает в себя множество составляющих, которые зависят от ее конструкции. Погрешности составляющих элементов стойки 2 (колонка, кронштейн, рабочая поверхность стола) приводят к неправильному ориентированию прибора и детали. Погрешности блока плоскопараллельных концевых мер длины 3, на который настраивался прибор, определяются погрешностями каждой из мер блока и погрешностями их притирки.

Погрешность метода измерений – составляющая погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.

Предпочтительно рассматриваемый класс погрешностей называть «методическими погрешностями». Методические погрешности могут возникать из-за несоответствий реальной методики выполнения измерений идеальным теоретическим положениям, на которых основаны измерения. Эти погрешности в свою очередь делятся на две группы. К первой можно отнести погрешности из-за допущений, принятых при измерении или обработке результатов, а также используемых в ходе измерительного преобразования приближений и упрощений (погрешности из-за несоответствия процесса измерительного преобразования его идеальной модели). Другой возможной причиной погрешностей метода является некорректная идеализация реального объекта измерений (погрешности из-за несоответствия объекта измерения идеализированной модели, положенной в основу процесса измерения).

Рассмотрим примеры погрешностей первой группы. При косвенных измерениях диаметров больших деталей часто рулеткой измеряют длину окружности, а затем рассчитывают диаметр. Здесь теоретическая погрешность будет присутствовать в любом случае из-за округления трансцендентного числа p. По этой же причине образуются методические погрешности при измерении площади круглых сечений, объема тел с такими сечениями и плотности их материала.

Измерение параметров электрической цепи специально подключаемым прибором приводит к некоторому изменению структуры цепи из-за подключения дополнительной нагрузки. Результаты измерений электрических параметров объектов могут искажаться также из-за наличия присоединительных проводов, меняющихся переходных сопротивлений в местах присоединения чувствительных элементов (щупов или клемм) измерительных приборов.

В большинстве случаев погрешности из-за принятых допущений пренебрежимо малы, но в случае прецизионных измерений их приходится оценивать и учитывать или компенсировать.

Появление методической погрешности из-за некорректной идеализации реального объекта измерений можно рассмотреть на примере измерения диаметра номинально цилиндрической детали измерительной головкой на стойке. В частности, измерение номинально цилиндрической детали с седлообразной поверхностью приведет к появлению методической погрешности, примерно равной отклонению образующей от прямолинейности (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Методическая погрешность из-за неидеальности

формы объекта линейных измерений

Приведенный пример показывает, что некорректная идеализация формы объекта при линейных измерениях может привести к возникновению методических погрешностей, которые могут существенно превышать инструментальную составляющую. При измерении плотности номинально компактного и однородного твердого тела неидеальность объекта может быть связана с наличием необнаруженных полостей или инородных включений.

Перечень видов неидеальности объектов может быть значительно расширен. Например, значения параметров твердости и шероховатости поверхностей деталей, химический состав материала детали, определяемые на конкретном участке, могут отличаться от параметров на других участках той же поверхности. Температура в объеме жидкости или газа практически всегда различается по слоям (температурные градиенты), скорость жидкости или газа в потоке в разных сечениях неодинакова (градиенты скорости) и т.д.

Погрешность из-за изменений условий измерения – составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.

Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточного учета действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); и др.

Более корректно следовало бы называть погрешности этой группы «погрешности из-за отличия условий измерения от идеальных (от нормальных)» либо «погрешности условий». Фактически эти погрешности имеют место тогда, когда не удается выдержать нормальные условия измерений.

Нормальные условия связаны с понятием влияющих физических величин. Влияющая физическая величина – физическая величина, оказывающая влияние на размер измеряемой величины и (или) результат измерений. Фактически под влияющими физическими величинами понимают те, которые не являются измеряемыми, но влияют на результаты измерений, воздействуя на объект и/или средства измерений

Пределы допустимых изменений таких величин или их отклонений от номинальных значений устанавливают исходя из нормальной области значений (для обеспечения нормальных условий измерения) или рабочей области значений (для обеспечения рабочих условий измерений). Поскольку при нормальных условиях измерений влияющие величины могут отличаться от номинальных (идеальных) значений, вызванные этими отличиями погрешности обязательно возникают. Однако нормальные условия назначают таким образом, чтобы «погрешности условий» оказались пренебрежимо малыми, например, по сравнению с инструментальными составляющими. В таком случае «погрешности условий» можно считать практически равными нулю.

К погрешностям из-за несоблюдения нормальных условий измерений следует отнести все составляющие погрешности измерения, которые вызваны воздействием на измеряемый объект и средства измерений любойвлияющей физической величины, выходящей за пределы нормальной области значений. Они могут быть обусловлены температурными, электромагнитными и другими полями в рабочей зоне, давлением воздуха, его избыточной влажностью, наличием вибраций на рабочем месте, где выполняются измерения или иными факторами.

Есть множество факторов, которые могут привести к искажению самой измеряемой величины и (или) измерительной информации о ней. Например, изменение температуры тела не приводит к изменению его массы, но вызывает изменения линейных размеров, изменения сопротивления прохождению электрического тока. Повышенная влажность не влияет на размеры металлических деталей, но может привести к изменению размеров и массы изделий из гидрофильных материалов, которые впитывают влагу из окружающей атмосферы.

Поиск влияющих величин осуществляется при анализе конкретной методики выполнения измерений.

Субъективная погрешность измерения – составляющая погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора. Иногда субъективную погрешность называют личной погрешностью или личной разностью.

Субъективные погрешности включают погрешности отсчитывания и погрешности манипулирования средствами измерений и измеряемым объектом. При измерениях часто приходится оперировать устройствами совмещения, настройки и корректировки нуля, арретирования, базирования средства измерений и измеряемого объекта, устройствами снятия сигнала измерительной информации (чувствительными элементами). Такие манипуляции часто приводят к погрешностям, особенно существенным у операторов с недостаточно высокой квалификацией.

Погрешности отсчитывания возникают при использовании аналоговых средств измерений с устройством выдачи измерительной информации типа «шкала-указатель». При положении указателя между отметками шкалы отсчитывание осуществляется либо с округлением до ближайшего деления, либо с интерполированием доли деления на глаз. Погрешность округления результата до целого деления составляет не более половины цены деления отсчетного устройства, а при интерполировании опытным оператором и удачной эргономике отсчетного устройства погрешность отсчитывания еще меньше и составляет не более 1/10 части цены интерполируемого деления.

В случае, если плоскости шкалы и указателя не совпадают, возможно возникновение погрешности отсчитывания из-за параллакса при «косом» направлении взгляда оператора. Для уменьшения погрешностей от параллакса используют методы сближения указателя со шкалой или искусственные приемы получения нормального угла зрения (специальные наглазники и налобники в оптических приборах, зеркальная полоска под шкалой прецизионных приборов и др.).

Очевидно, что погрешности отсчитывания при округлении или интерполировании и погрешности из-за параллакса не возникают при использовании приборов с дискретной выдачей информации на цифровых табло.

Распределение источников погрешностей можно проиллюстрировать на схеме измерения физической величины (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема измерения физической величины

D – погрешность измерения, D_си – инструментальная погрешность,

D_м – методическая погрешность, D_у – погрешность из-за отличия условий

измерения от нормальных, D_оп – субъективная погрешность.

Взаимодействие средства измерений с измеряемым объектом определяет «метод измерения», следовательно, и методические погрешности. «Условия измерений» взяты в широком смысле и включают в себя не только влияющие величины, но и факторы, оказывающие отрицательное воздействие на оператора (недостаточная освещенность, шумовое загрязнение среды и др.). Тем не менее, оценивать «погрешность условий» предлагается только как результат действия влияющих величин (величина А воздействует только на измеряемый объект, В – на измеряемый объект и на средство измерений, С – только на средство измерений).

Погрешность измерения D, которая всегда является интегральнойпогрешностью, образуется в результате объединения составляющихпогрешностей от разных источников:

D = D_си* D_м *D_у *D_оп ,

где * – знак объединения (комплексирования, а не алгебраического сложения), поскольку погрешности разного характера объединяют с использованием разных математических операций.

Каждый из источников может дать одну, либо несколько элементарных составляющих. В последнем случае составляющая погрешность сама является интегральной.

В метрологической литературе встречаются разные классификации погрешностей измерений по характеру их проявления (изменения). Традиционным является деление погрешностей на случайные, систематические и грубые.

Реальное положение в измерениях характеризуется фактическим наличием как детерминированных, так и случайных (стохастических) явлений, которые вызывают появлениесоответствующих погрешностей. Поскольку механизмы образования значительной части составляющих погрешности измерений сходны с механизмами формирования случайных величин, можно ожидать наличия в результатах измерений случайныхпогрешностей. Это дает возможность использовать для обработки результатов измерений со случайными погрешностями аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Систематическая погрешность измерения (систематическая погрешность) – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

К систематическим погрешностям измерений можно отнести те составляющие, для которых доказано наличие функциональных связей с вызывающими их аргументами. Для них можно предложить формальную запись в виде

D _s = F (j, y...),

где j, y – аргументы, вызывающие систематическую погрешность.

Главной особенностью систематической погрешности является принципиальная возможность ее выявления, прогнозирования и однозначной оценки.

В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на элементарные и изменяющиеся по сложному закону. Элементарные погрешности можно условно разделить на постоянные, прогрессирующие (прогрессивные) и периодические (рис. 2.5). Прогрессирующими называют монотонно возрастающие или монотонно убывающие погрешности. Периодические погрешности – погрешности, изменение которых можно описать периодической функцией. Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, образуются при объединении нескольких систематических погрешностей.

Рис. 2.5. Виды простейших систематических погрешностей

а – постоянные, б, в – прогрессирующие (линейная и нелинейная),

г, д – прогрессирующие нелинейные (предложены варианты аппроксимации прямыми линиями), е – периодические (гармонические).

Обычно для описания и аппроксимации систематической погрешности подбирают наиболее простую функцию, например линейную для прогрессирующей погрешности. Такой же упрощенный подход применяют и для аппроксимации гармонической систематической погрешности, которая может быть описана как синусоида, косинусоида, пилообразная либо другая периодическая функция.

Систематическая погрешность может иметь не только элементарный, но и более сложный характер, который можно аппроксимировать функцией, включающей приведенные простые составляющие. Сложная систематическая погрешность, включающая постоянную, прогрессирующую и периодическую составляющие, в общем виде может быть описана выражением

D _s = a + by + d sin j,

где a – постоянная составляющая сложной систематической погрешности;

y, j – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих сложной систематической погрешности.

Стандартное определение случайной погрешности измерения имеет следующий вид: составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Случайными погрешностями в строгом смысле термина можно считать только те, которые обладают статистической устойчивостью (ведут себя как центрированная случайная величина). Причиной появления таких погрешностей чаще всего является совокупное действие ряда слабо влияющих дестабилизирующих факторов, связанных с любыми источниками погрешностей каждый из которых не имеет доминирующего влияния. При этом функциональные связи аргументов с погрешностями либо отсутствуют (в наличии только стохастические зависимости), либо не могут быть выявлены из-за неопределенности факторов и большого их числа.

Погрешности, которые нельзя отнести ни к случайным, ни к систематическим из-за совершенно иного механизма образования и принципиально отличного значения, называют грубыми погрешностями измерений или промахами.

Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

«Результат измерения с грубой погрешностью» фактически вызван ошибкой, допущенной при измерении, поэтому его следует признать ошибочным и подлежащим устранению.

Исключение результатов может осуществляться либо цензурированием явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием отдельных экстремальных значений, которое основано на принципе практической уверенности. Применение этого принципа позволяет отбрасывать те значения, вероятность появления которых в исследуемом массиве данных меньше некоторого заранее выбранного значения.

По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно делить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих. Формальное соотношение между пренебрежимо малой D_min и доминирующей D_max составляющими можно записать в виде:

D_min << D_{ma x} .

Пренебрежимо малой интегральной погрешностью измерения можно считать такую, которая не является препятствием для замены истинного значения физической величины полученным результатом. За действительное значение измеряемой величины принимают такое значение, которое получено экспериментально (в результате измерений) и настолько близко к истинному, что для данной задачи измерений может заменить истинное ввиду несущественности различия между ними, что можно записать как:

X _{д Q}» Q,

где X _{д Q} – действительное значение физической величины;

Q – истинное значение физической величины.

Если различие между истинным значением величины Q и результатом ее измерения X _{д Q} мы считаем пренебрежимо малым, можно записать

D_{д Q}» 0,

где D_{д Q} – погрешность измерения действительного значения величины.

Установление действительного значения измеряемой физической величины должно предваряться выбором допустимойпогрешностиизмерений, которая и будет представлять собой пределпренебрежимомалогозначения погрешности результата измерений.

В зависимости от режима измерения погрешности принято делить на статические и динамические. Статическаяпогрешностьизмерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения. Динамическаяпогрешностьизмерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. По существу динамической погрешностью измерений является составляющая погрешности, дополнительная к статической, и возникающая при измерении в динамическом режиме.

D_дин = D_д.р– D_ст.р,

где D_дин – динамическая погрешность средства измерения;

D_д.р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме;

D_ст.р – статическая погрешность средства измерения (погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме).

Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и при измерении величины постоянной. И в том и в другом случаях (рис. 2.6) возможна слишком высокая скорость «подачи информации» на средство измерений V _Q (скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений) которая оказывается соизмеримой со скоростью преобразования измерительной информации V _Q → X и/или даже выше ее.

Рис. 2.6. Механизм возникновения динамических погрешностей: V_Q £ V_{Q ®X.}

Например, из-за необходимости обеспечить высокую производительность работы контрольно-сортировочных автоматов подшипниковых заводов, скорость изменения входного сигнала измерительной информации может оказаться выше скорости преобразования измерительной информации средством измерения. Из-за «запаздывания» с преобразованием сигнала возникают динамические погрешности (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Несоответствие во времени выходного сигнала X входному сигналу Q (преобразование с запаздыванием, преобразование с запаздыванием

и инерционным «перебегом» сигнала).

Обоснованной представляется следующая укрупненная классификация погрешностей измерений по степени полноты информации об их характере и значениях:

· определенные погрешности,

· неопределенные погрешности.

К определенным можно отнести любые известные по числовому значению и знаку погрешности. Известными могут стать, например те составляющие погрешности измерений, которые имеют достаточно жесткую функциональную связь с вызывающими их источниками. Такие погрешности по сути совпадают с систематическими и принципиально могут быть выявлены и исключены из результатов измерений, их значения можно прогнозировать. Определенной можно считать такжелюбую(в том числе и уже зафиксированную случайную или даже грубую)погрешность, числовое значение и знак которой получены экспериментальными методами.

Определенные погрешности при достаточной полноте информации могут быть исключены из результатов измерений. Теоретическая определенность систематических погрешностей делает возможным исключение этих погрешностей до измерений, в процессе измерений, а также при математической обработке результатов измерительного эксперимента после измерений.

В тех случаях, когда погрешность становится определенной, в результат измерений может быть внесена поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения погрешности. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Иногда поправки вносят, используя поправочный множитель (например, в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины)

Исключение систематических погрешностей измерения не только из отдельных результатов измерений, но из целых серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, в метрологии принято называть «исправлением результатов», а полученные при этом результаты – исправленными. Статистическая обработка массивов результатов измерений, образующих серии, недопустима без предварительного «исправления результатов», т.е. исключения результатов воздействия, по крайней мере, переменных систематических составляющих погрешностей.

К неопределенным погрешностям следует отнести невыявленные систематические, а также погрешности случайные (собственно случайные) и грубые погрешности, значения которых не были определены экспериментально.

При исключении определенных погрешностей абсолютная точность невозможна, поэтому неисключенные остатки погрешностей приходится относить к неопределенным.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.

Как и все другие погрешности, неопределенные систематические погрешности могут быть либо значимыми, либо пренебрежимо малыми. К значимым неопределенным систематическим погрешностям относятся те невыявленные систематические погрешности и неисключенные остатки систематических погрешностей, которые соизмеримы со случайными составляющими погрешности измерений.

Неисключенные остатки систематических погрешностей имеют место при любом, даже самом тщательном выявлении и исключении систематических составляющих. В принципе эти погрешности могут быть выявлены и исключены (как систематические), однако иногда они остаются невыявленными из-за сложности технического решения такой задачи.

Общеприняты классификации погрешностей измерений по формам их выражения. Абсолютные погрешности выражают в единицах измеряемой величины, а относительные, которые представляют собой отношение абсолютной погрешности D к значению измеряемой величины, могут быть рассчитаны в неименованных относительных единицах (или в именованных относительных единицах, например в процентах). Формальное выражение относительной погрешности (D_отн) может быть представлено в виде:

D_отн = D/ Q,

а при использовании именованной относительной погрешности, выраженной в процентах

D_отн = (D/ Q) ´ 100 %,

где D – абсолютная погрешность измерения;

Q – истинное значение физической величины.

Принимая во внимание незначительное для данного выражения различие между истинным значением физической величины Q и результатом ее измерения X, можно записать

D_отн»D /X,

а также

D_отн» (D/ X) ´ 100 %.

Для характеристикисредств измерений иногда используют такой специфический класс относительных погрешностей, как приведенные погрешности средств измерений (D_прив), то есть отношение абсолютной погрешности к некоторой нормирующей величине (Q _норм)

D_прив = D / Q _норм.

В качестве нормирующей величины может использоваться, например, верхний предел измерений.

Формы оценок погрешностей, используемые в метрологии и в технических измерениях, весьма разнообразны. Они включают качественные характеристики и количественные оценки погрешностей измерений.

Качественные характеристики погрешностей в простейшем случае ограничиваются указанием их детерминированного или стохастического характера. Для систематических погрешностей дополнительно может быть указана тенденция (постоянная, прогрессирующая, периодическая), а при более полной информации – функция, описывающая изменение погрешности.

Для случайных погрешностей качественной характеристикой может быть аппроксимация функции распределения вероятностей. В метрологии приняты и наиболее часто применяются нормальное распределение (распределение Гаусса), равновероятное, трапециевидное и распределение Релея.

Случайная составляющая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений, которое носит вероятностный характер. Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественными оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

· размах результатов измерений,

· среднее арифметическое значение погрешности (по модулю),

· среднее квадратическое значение погрешности или стандартное отклонение результатов измерений (среднее квадратическое отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение),

· доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная погрешность).

Размах результатов измерений – оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической величины, образующих ряд (или выборку из n измерений). Размах результатов измерений R_n определяют из зависимости

R_n = X _max – X _min,

где X _maxи X _min – наибольшее и наименьшее значения результатов в серии.

Размах отклонений R_e от среднего или произвольно выбранного значения, который равен размаху результатов измерений – из зависимости

R_e = e _max – e _min,

где e _maxи e _min – наибольшее и наименьшее отклонения результатов от некоторого фиксированного значения.

Более представительными в математическом смысле оценками погрешностей можно считать среднее арифметическое значение погрешности в серии результатов (Х _ср), среднее квадратическое отклонение погрешности от фиксированного значения результата измерения, границы погрешности.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений – оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения.

В метрологической практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда называют стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рассматривать как случайные погрешности.

Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического(средняя квадратическая погрешность среднего арифметического; средняя квадратическая погрешность; СКП) введен вместо ранее применявшегося термина среднее квадратическое отклонение результата измерений. Значение этой оценки погрешности рассчитывается как СКО случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений по формуле:

,

где S – средняя квадратичная погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений;

n – число единичных измерений в ряду.

Границы погрешности могут быть определены как предельные значения или как доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал.

Доверительные границы погрешности результата измерений (доверительные границы погрешности; доверительные границы) – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении вычисляются как , , где , –средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений п.

При симметричных границах термин может применяться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.