Разностные уравнения

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая обратная разность

Ñf[n] = f[n] - f[n-1],

либо первая прямая разность

Df[n] = f[n+1] - f[n].

Прямая разность определяется в момент времени t=nT по будущему значению решетчатой функции при . Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно.

Обратная разность определяется для момента времени t=nT по прошлому значению решетчатой функции в момент времени .

Аналогом второй производной служат вторые разности:

oбратная .

Для вычисления k-й разности используют рекуррентную формулу

или формулу общего вида

, (1)

где биномиальные коэффициенты (число сочетаний) .

Обратные разности обладают важной особенностью: если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, то есть

при n<0, то в точке n=0 k-я разность

для любого целого положительного k.

Аналогами интегралов непрерывных функций в пределах от 0 до t для решетчатых функций являются неполные суммы для обратных разностей

и полные суммы для прямых разностей

.

В качестве аналогов дифференциальных уравнений рассматриваются уравнения в конечных разностях.

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет иметь вид

.

С учетом формулы (1) последнее выражение приобретает вид

,

коэффициенты уравнения определяются выражениями

, .

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом: , (2)

где (i=1,2,…,m) – корни характеристического уравнения

,

а - произвольные постоянные.

Из (2) вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением, было бы затухающим (условие устойчивости): | |<1 (i=1,2,…,m).

Для исследования решений разностных уравнений используются дискретное преобразование Лапласа, z – преобразование, w – преобразование, а также частотные методы.