Краткая теория. 1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Издержки производства. Если издержки производства рассматривать как функцию выпускаемой продукции , т.е. , то будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: .

2. Производительность труда. Пусть функция выражает объем произведенной продукции за время . Тогда производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

3. Функция потребления и сбережения. Если - национальный доход, - функция потребления (часть дохода, которая тратится), а - функция сбережения, то

. (7.33)

Дифференцируя, получим, что

, (7.34)

где - предельная склонность к потреблению; - предельная склонность к сбережению.

4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

или , (7.35)

где

(7.36)

– относительная скорость изменения (темп) функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса , то спрос считается эластичным, если – нейтральным (с единичной эластичностью), а если – неэластичным относительно цены.

7.131. Функция издержек производства продукции некоторой фирмой имеет вид: (ден. ед.). Найти средние и предельные издержки производства и вычислить их значение при .

Решение. Найдем производную и ее значение - предельные издержки производства:

.

Средние издержки:

;

.

Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема на одну единицу продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед.

7.132. Функция потребления некоторой страны имеет вид:

,

где - совокупный национальный доход (ден. ед.). Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27 ден. ед.

Решение: Предельная склонность к потреблению: ; ее значение: .

Предельная склонность к сбережению:

; ее значение: .

7.133. Объем производства зимней обуви , выпускаемый некоторой фирмой, может описан уравнением (ед), где - календарный месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения: а) в начале года (); б) в середине года (); в) в конце года ().

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./мес.), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./мес.²), (ед./мес.).

В заданные моменты времени соответственно имеем (ед./мес.), (ед./мес².), (ед./мес.), (ед./мес.), (ед./мес².), (ед./мес.), (ед./мес.²), (ед./мес.²), (ед./мес.).

7.134. Функция спроса и предложение , где и - количество товаров, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, - цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение: а) Равновесная цена определяется из условия , т.е. ; откуда , т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (7.35):

; .

Для равновесной цены имеем ; .

Так как полученные значения эластичности меньше 1 (по абсолютной величине), то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены на 10% от равновесной спрос уменьшается на , следовательно, доход возрастает приближенно на 9%.

7.135. Зависимость между спросом и ценой за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением . Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при и при ден. ед.?

Решение. Эластичность спроса по формуле (7.35) есть .

Спрос нейтрален, если . Решая это уравнение, имеем . Далее, принимая во внимание, что и (т.е. ), получим, что если - спрос является неэластичным; при - спрос эластичен.

Рекомендации. Если цена единицы продукции составляет 100 ден. ед., то спрос является неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости продукции 150 ден. ед. спрос является эластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложение о снижении цены, выручка от реализации будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.

7.136. Задана функция полных затрат предприятия на производство единиц продукции. Определить связь между коэффициентом эластичности полных и средних затрат.

Решение. Средние затраты на единицу продукции равны: . По формуле (7.35.) коэффициенты эластичности полных и средних затрат равны: ;

, т.е. коэффициент эластичности средних затрат на единицу меньше коэффициента эластичности полных затрат.

7.137. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции на предприятии выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.138. Выручка от продажи конфет составляет , где - объем проданной продукции (тыс. ед.). Найти среднюю и предельную выручку, если продано: а) 10 тыс. ед.; б) 60 тыс. ед.

7.139. Функция издержек производства от объема выпускаемой продукции имеет вид . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.140. Себестоимость продукции связана с объемом выпускаемой продукции уравнением: . Определить среднюю и предельную себестоимость выпускаемой продукции при объеме, равной 10 ед.

7.141. Производительность труда бригады может описана уравнением , где - рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при и .

7.142. Себестоимость производства телевизоров (в тыс. руб.) описывается функцией , , где - объем выпускаемой продукции в месяц (тыс. ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости и при выпуске 20 и 40 тыс. ед. продукции.

7.143. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где - совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

7.144. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где - совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

7.145. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия (млн. руб.) и объемом выпускаемых изделий (тыс. шт.) выражается уравнением . Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятия об изменении величины объема выпускаемой продукции?

7.146. Функция полных затрат в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением: . При каком объеме производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициенты эластичности полных и средних затрат при данном объеме.

7.147. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции (млн. руб.) и объемом производственных фондов (млн. руб.) выражается уравнением . Найти эластичность выпуска продукции для предприятия, имеющего фонды в размере 40 млн. руб.

7.148. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (в руб.) и выпуском продукции (в млн. руб.) выражается уравнением . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции на 30 млн. руб.

7.149. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии (тыс. ед.) и затратами на их изготовление (тыс. руб.) для предприятия отрасли выражается уравнением . Найти эластичность затрат для предприятий, выпускающих по 10 тыс. деталей в партии.

7.150. Найти эластичность функции спроса при заданной стоимости :
а) , ; б) , ; в) , и .

7.151. Для следующих функций спроса найти значение , при которых спрос является эластичным: а) ; б) ; в) .

7.152. Задана функция спроса и предложения от цены : , . Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении равновесной цены на 5 %.

7.153. Функции спроса и предложения на некоторый товар от его цены задаются уравнениями: , . Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении равновесной цены на 5 %.

7.154. Зависимость потребления от дохода задается функцией . Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.