Условные экстремумы функций двух переменных

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть имеется функция , аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.

Определение 1. Точка называется точкой условного максимума или минимума, если существует такая ее окрестность, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство или .

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например выразить y через x, т.е . Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим , т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а - множителем (коэффициентом) Лагранжа. Доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Если точка является точкой условного экстремума функции при условии , то существует значение такое, что точка является точкой экстремума функции .

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции при условии требуется найти решение следующей системы:

Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи. Данная система выражает необходимые условия Лагранжа условного экстремума.

Из этой системы уравнений находят критические точки условного экстремума.

Определение 2. Точка называется критической точкой функции Лагранжа, если , , (или не существуют).

Для исследования критических точек на экстремум вычисляем в полученных точках значения , , , , и составляем определитель

Тогда достаточные условия условного экстремума запишутся в следующем виде:

1. Если , то функция имеет в точке условный минимум;

2. если - то условный максимум.

Исследование функции на условный экстремум с помощью метода множителей Лагранжа проводится по следующему алгоритму:

1. Составить функцию Лагранжа

2. Найти частные производные , , и приравнять их к нулю, т.е. составить необходимые условия экстремума функции Лагранжа.

3. Решить систему уравнений

и найти критические точки.

4. Найти частные производные:

, , , , .

5. Вычислить значения найденных частных производных в каждой критической точке.

6. Из найденных значений составить определитель .

7. С помощью достаточных условий сделать вывод о характере экстремальной точки.

8. Найти значения функции в точках условного экстремума.

1. Находим производную .
Решение. Из уравнения связи выразим переменную y через переменную x и подставим полученное выражение в функцию z. Получим или . Эта функция одного переменного. Исследуем ее на экстремум:
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию при условии .
Рассмотрим типичные примеры для решения которых используются приведенные понятия, определения и теоремы: Геометрический смысл условий Лагранжа. Линия пунктирная (рис.1), линии уровня функции – сплошные. В точке условного экстремума линия уровня функции касается линии .

2. Приравняем производную к нулю, получим уравнение , решением которого служит значение .

3. Находим вторую производную , так как ее значение в критической точке больше нуля, то по второму достаточному условию экстремума делаем вывод, что – точка минимума функции .

При этом соответствующее значение функции . Таким образом, – точка условного экстремума (минимума) и .

Ответ: – точка условного минимума; .

Пример 2. Найти экстремумы функции при условии .

Решение. Используем метод множителей Лагранжа. Уравнение связи имеет вид:

1. Составим функцию Лагранжа: ;

2. Находим частные производные: , , .

3. Приравняем частные производные к нулю, получим систему:

Таким образом, получили две критические точки при и при .

4. Находим следующие производные: ; ; , ; .

5. Вычисляем значения найденных частных производных в каждой критической точке:

1) при :

; ; , ; ;

2) при :

; ; , ; .

6. Составляем из найденных значений определитель:

1) ,

7. Проверяем в каждой точке выполнение достаточного условия. Так как , то в точке условный минимум; а из того, что делаем вывод, что в точке условный максимум.

8. Вычисляем значения функции в критических точках: , .

Ответ: при - точка условного максимума, ;

при – точка условного минимума, .

Пример 3. Найти экстремумы функции при условии, что .

Решение. Используем метод множителей Лагранжа.