Предисловие. Данная дисциплина включает в себе 2 части: в первой предполагается изучение основных классов интегральных уравнений

Данная дисциплина включает в себе 2 части: в первой предполагается изучение основных классов интегральных уравнений. Вторая часть посвящена изложению основных положений вариационного исчисления.

Курс «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление» является достаточно сложным и включает материал, трудный для усвоения студентами. Цель пособия – помочь студентам освоить необходимый материал.

Пособие является кратким изложением основных тем курса. Отметим, что существенной проблемой является недостаток времени, выделяемое программой. Пособие не претендует на объемлющее изложение соответствующих дисциплин. При написании настоящего пособия мы стремились к тому, чтобы материал по возможности легко воспринимался студентами. При изложении стандартных вопросов теории интегральных уравнений нами использовались уже имеющиеся учебники и пособия других авторов.

Первая часть пособия посвящена разделу «Интегральные уравнения».

Основной целью было ознакомить с основными методами решения наиболее часто встречающихся в приложениях интегральных уравнений – уравнений Фредгольма и Вольтерры (2 рода). Во второй части изложены основные факты вариационного исчисления, в соответствии с программой.

При составлении пособия нами использовались следующие книги по данной тематике.:

1.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. – М. наука, 2007

2. Мл. Краснов, А.Н. Киселев, Г.И. Макаренко Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями //Серия «Высшая математика в задачах» М.:УРСС,2007.

Материал распределен по темам. Сначала излагается основной теоритический материал. Ввиду отсутствия у студентов практики решения задач по указанной тематике, в пособии в конце каждой темы предлагается подробное решение задач по соответствующим разделам. Далее рекомендуются задачи для самостоятельной (домашней) работы. Задачи для самостоятельной работы взяты из второй книги.

При изложении теоретического материала предпочтение отдано классической теории интегральных уравнений. Современном изложении т основывается на теории линейных операторов в бесконечномерных нормированных пространствах. К моменту изучения дисциплины студенты не знакомы с основами функционально анализа, которые требуются для понимания этой теории.

Для желающих познакомиться с теорией интегральных уравнений с позиций функционального анализа указана дополнительная литература в конце пособия.

Данное пособие рекомендуется не только физикам, но также студентам естественных и технических специальностей, желающих познакомиться с методами решения основных типов интегральных уравнений.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Направление 510400 Физика

Степень - бакалавр физики

ТРЕБОВАНИЯ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ БАКАЛАВРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ 510400

ФИЗИКА

ЕН.Ф.03

Интегральные уравнения и вариационное исчисление: Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Однородное и неоднородное уравнения Фредгольма второго рода. Задача Штурма-Лиувилля. Принцип сжатых отображений. Уравнение Вольтерра.

Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум, задачи с закрепленными границами и с подвижной границей.

Специальность «Физика – бакалавр».

Аннотация дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»

Общая трудоемкость 2 ЗЕТ (38 часа)

Цели и задачи дисциплины:

При изучении физических явлений часто строится математическая модель, сводящаяся к необходимости решать уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Такие уравнения называются интегральными. Теория линейных интегральных уравнений возникла в начале ХХ века в связи с изучением задач математической физики. В настоящее время она представляет собой важный раздел современной математики, имеющий широкие приложения в теории дифференциальных уравнений, классической и современной математической физике, в задачах естествознания и техники, является ключом к открытию обширной области математики, которая ныне называют функциональным анализом.

Цель курса состоит в кратком изложении основных положений теории и применение её к решению уравнений. Под общим названием «интегральные уравнения» известны вещи, мало похожие одна на другую. Обычно не пытаются дать общего определения интегральным уравнениям, а ограничиваются тем, что перечисляют и изучают наиболее важные классы интегральных уравнений. В данном курсе рассматриваются методы решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерры 2-го рода, которые наиболее часто встречаются в приложениях. Цель курса состоит в кратком изложении основных положений теории и применение её к решению уравнений.

В разделе «Вариационное исчисление» исследуется методы отыскания экстремумов функционалов, при разного рода ограничениях: фазовых, дифференциальных, интегральных и т.п. Основным методом получения необходимых условий экстремумов является метод вариаций. Вводятся понятия сильного и слабого экстремумов и изучаются их необходимые условия. Формулируются достаточные условия. Обзорно рассматриваются, часто встречающиеся в приложениях, вариационные задачи с подвижными концами и задачи на условный экстремум, а также основные вариационные принципы механики.