1. Интегральные уравнения
Историческая справка. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. Понятие интегрального уравнения. Классификация уравнений по типу его ядра.
Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода: Существование и единственность решения.
Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте интегрального уравнения.
Интегрирование уравнений с вырожденными ядрами. Метод определителей Фредгольма. Альтернативы Фредгольма
Уравнение Вольтерра: Метод последовательных приближений. Существования и единственности решения Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера. Резольвента интегрального уравнения.
Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Скалярное произведение и норма. Ортогональность. Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.
Оператор Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции. Существование характеристического числа, действительность характеристических чисел, ортогональность собственных функций. Теорема Гильберта – Шмидта. Задача Штурма-Лиувилля. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций.
|
|
2. Элементы вариационного исчисления:
Предмет вариационного исчисления. Основные определения. Простейшая задача вариационного исчисления. Первая вариация и необходимые условия экстремума функционала.
Вторая вариация и достаточные условия экстремума функционала. Вариационные задачи на условный экстремум. О вариационных задачах с подвижными концами. Вариационные принципы механики: принцип Гамильтона – Остроградского; принцип наименьшего действия.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать основные понятия и теоремы дисциплины.
Уметь определять тип уравнения. Решать поставленные конкретные задачи с применением теории. Владеть различными методами решения уравнений.
Уметь решать задачи отыскания экстремумов функционалов, при разного рода ограничениях:.
Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.
Для изучения курса необходимо знать следующие разделы курса "Математический анализ": дифференцирование функций одного и многих переменных, неопределенный интеграл и определенный интеграл. Из курса "Высшая алгебра" требуется знание разделов: определители и решение систем линейных уравнений.
Виды учебной деятельности: лекции, практические занятия
Изучение дисциплины заканчивается зачетом.
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление».
|
|
Направление 510400 Физика
Степень - бакалавр физики
Семестр: 4.
Зачет
Распределение часов по разделам
Часть 1 Интегральные уравнения
Лекции - 12 ч
Практические занятия – 12ч
Всего - 24ч
№ | Тема | Лекции | Практические занятия | Всего | |
Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. | |||||
2) Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. | |||||
3) Уравнение Вольтерра 2 рода | |||||
4) Интегральные уравнения с симметрическими ядрами. | |||||
Всего |