Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

. (1.5)

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´ n на матрицу В размерности n ´ k мы получаем матрицу С размерности m ´ k. При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

. (1.11)

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA:

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB, необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B:

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A.

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A^- ¹ называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено равенство:

, (1.12)

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А:

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A_ij – алгебраические дополнения к элементам a_ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A^- ¹ к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A_ij:

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A. Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

, (1.14)

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A^- ¹, мы получим решение системы:

, откуда

. (1.15)

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А ^-1. Для нахождения обратной матрицы А ^-1, вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z:

, или

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z. Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y:

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x:

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x, y, и z. Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x:

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t:

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x_j – независимые (искомые) переменные, a_ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Правые части системы y_i (i = 1, 2,…, m) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x_s) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a_rs ¹ 0. Коэффициент a_rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x_s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x_s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

. (1.22)

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b_ij (i ¹ r) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x_s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x ₁	x ₂	…	x_j	…	x_s	…	x_n
y ₁=	a ₁₁	a ₁₂		a _{1 j}		a _{1 s}		a _{1 n}
…………………………………………………………………..
y_i =	a_i ₁	a_i ₂		a_ij		a_is		a_in
…………………………………………………………………..
y_r =	a_r ₁	a_r ₂		a_rj		a_rs		a_rn
………………………………………………………………….
y_n =	a_m ₁	a_m ₂		a_mj		a_ms		a_mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x ₁	x ₂	…	x_j	…	y_r	…	x_n
y ₁=	b ₁₁	b ₁₂		b ₁ _j		b ₁ _s		b ₁ _n
…………………………………………………………………..
y_i=	b_i ₁	b_i ₂		b_ij		b_is		b_in
…………………………………………………………………..
x_s=	b_r ₁	b_r ₂		b_rj		b_rs		b_rn
………………………………………………………………….
y_n=	b_m ₁	b_m ₂		b_mj		b_ms		b_mn

Разрешающий элемент a_rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x_s) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y_r) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

Задача 1.14. Найти общее решение системы линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений:

. (1.26)

Решение. Запишем систему (1.26) в виде жордановой таблицы (табл. 1.3):

Таблица 1.3 Таблица 1.4

x ₁

x ₂

x ₃

x ₄

x ₅

x ₁

x ₂

x ₄

x ₅

–4

–9

–17

–14

–5

–45

–3

–2

–8

–11

–6

–11

–5

–4

–2

–9

x ₃=

–4

–6

–5

–3

–21

–26

–13

–37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x ₁,…, x ₅ (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x ₁,…, x ₅. Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x ₃ в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x ₃ из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x ₃ выражается через остальные переменные.

Строку x ₃ (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b_i ₃ все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0· b_i ₃системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x ₃ и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x ₃). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b ₁₄ = –5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

	x ₁	x ₂	x ₅			x ₁	x ₅
x ₄=	–3,4	–2,8	3,4	–9	x ₂=	–62/29	37/29	–215/29
0=	12,4	5,8	–7,4		0=	28/29	–56/29	84/29
0=	23,2	10,4	–15,2

Далее, выбирая разрешающие элементы 5,8 и 28/29 в таблицах 1.5 и 1.6, соответственно, мы приходим к таблице 1.7:

Таблица 1.7

	x ₅
x ₁=		–3

Из последней таблицы 1.7 находим: x ₁ = – 3 + 2 x ₅.

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x ₅, можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x ₅ = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x ₁ = – 3 + 2 t

x ₂ = – 1 – 3 t

x ₃ = – 2 + 4 t. (1.27)
x ₄ = 4 + 5 t

x ₅ = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (– 3; – 1; – 2; 4; 0).

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

1 2 3 4 5 6 7

Подборка статей по вашей теме: