2015-04-01
1124
Цель: формирование умения вычислять ранг матрицы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 5.1.Разберите, что называют рангом матрицы, какие преобразования необходимо выполнять для приведения матрицы к ступенчатому виду.
?5.2. Найдите ранг матрицы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
¶5.3. Найдите ранг матрицы: 
.
Методические указания по выполнению работы:
Для нахождения ранга матрицы ее нужно привести к ступенчатому виду: под первым
ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижних строках:
Приведение матрицы к ступенчатому виду осуществляется с помощью элементарных преобразований:
· умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля;
· перестановка местами строк;
· вычеркивание нулевой строки;
· прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое действительное число.
Если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначаются А ~ В.
|
|
|
Рангом матрицы назовем число ненулевых строк эквивалентной ей матрицы В ступенчатого вида. Ранг матрицы обозначается r (А).
Для упрощения вычислений на первое место лучше ставить ту строку, в которой первый элемент равен 1.
Алгоритм вычисления ранга матрицы:
1. С помощью элементарных преобразований добейтесь того, чтобы элемент а 11 был равен 1.
2. С помощью элементарных преобразований обнулите элементы первого столбца, стоящие ниже а 11.
3. С помощью элементарных преобразований, если это целесообразно, добейтесь того, чтобы элемент а 22 был равен 1.
4. С помощью элементарных преобразований обнулите элементы второго столбца, стоящие ниже а 22.
5. Если матрица не приведена к ступенчатому виду, то продолжите аналогичные преобразования с элементами а 33, а 44 и т. д.
6. Убедитесь, что матрица приведена к ступенчатому виду. Сосчитайте число ее строк. Полученное число равно рангу матрицы А.
Пример 1. Найдите ранг матрицы А = 
.
Решение:
1. Для того, чтобы элемент а 11 был равен 1, поменяем местами первую и вторую строки: 
.
2. Обнулим элемент а 21, прибавив к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-2):
.
Обнулим элемент а 31, прибавив к элементам третьей строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-5):
.
3. Если добиться того, чтобы элемент а 22 был равен единице, то дальнейшие вычисления будут трудоемкими.
4. Мы обнулим элемент а 32, если прибавим к элементам третьей строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2):
.
5. Вычеркнем нулевую строку: 
.
6. Получили матрицу ступенчатого вида. Число ее строк равно двум, следовательно, ранг матрицы А равен 2, т.е. r(А) = 2.
|
|
|
Ответ: r(А) = 2.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 2, §2.4, стр. 40 – 49.
2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §3, стр. 78 – 81.
