Соответствия между множествами и отображение множеств

Соответствием между множествами A и B называется подмножество G Í A ´ B.

Если (a, b)Î G, то говорят, что b соответствует a при соответствии G.

Областью определения соответствия G (обозначение пр₁ G) называется множество, состоящее из первых компонент пар принадлежащих G:

пр₁ G ={ x |(x, b)Î G, b Î B }.

Областью значения соответствия G (обозначение пр₂ G) называется множество, состоящее из вторых компонент пар принадлежащих G:

пр₂ G ={ x |(a, x)Î G, a Î A }.

Если пр₁ G = A, то соответствие называется всюду определенным.

Если пр₂ G = B, то соответствие называется сюръективным.

Множество всех элементов b Î B, соответствующих элементу a Î A, называется образом a в B при соответствии G:

Образ a в B ={ x |(a, x)Î G }.

Множество всех элементов a Î A, которым соответствует элемент b Î B, называется прообразом b в A при соответствии G:

Прообраз b в A ={ x |(x, b)Î G }.

Пример. Проиллюстрируем введенные понятия. Пусть A ={ a ₁, a ₂, a ₃}, B ={ b ₁, b ₂}. В этом случае прямым произведением множеств A и B является множество A ´ B ={(a ₁, b ₁), (a ₁, b ₂), (a ₂, b ₁), (a ₂, b ₂), (a ₃, b ₁), (a ₃, b ₂)}. Пусть задано следующее соответствие G ={(a ₁, b ₁), (a ₂, b ₁), (a ₂, b ₂)}. Соответствия удобно изображать диаграммами. Для данного соответствия диаграмма представлена на рис.1.2.

Областью определения рассмотренного соответствия является множество пр₁ G ={ a ₁, a ₂}, областью значения - пр₂ G ={ b ₁, b ₂}.

Соответствие G не является всюду определенным, т.к. пр₁ G ¹ A и является сюръективным, т.к. пр₂ G = B.

Образом элемента a ₁ в B является множество { b ₁}, образом элемента a ₂ в B является все множество B ={ b ₁, b ₂}, образом элемента a ₃ в B является пустое множество.

Прообразом элемента b ₁, в А является множество { a ₁, a ₂}, прообразом элемента b ₂, в А является множество { a ₂}.

Соответствие называется функциональным (функцией, однозначным соответствием), если образом любого элемента из области определения является единственный элемент из области значения.

Рассмотренное в предыдущем примере (см. рис.) соответствие не является функциональным, т.к. образом элемента a ₂ в B является два элемента { b ₁, b ₂}.

Пример. Диаграмма, задающая функциональное соответствие представлена на рис.1.3.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и прообразом любого элемента из области значения является единственный элемент из области определения.

Пример. Диаграмма, задающая взаимно однозначное соответствие представлена на рис. 1.4.

Отображением множества A во множество B (отображением) называется полностью определенное функциональное соответствие между множествами A и B.

Отображением множества A на множество B (сюръективным отображением) называется полностью определенное функциональное сюръективное соответствие между множествами A и B.

Отображение называется инъективным, если прообразом любого элемента из области значения является единственный элемент из области определения.

Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется биективным. Другими словами биективным отображением называется взаимно однозначное соответствие.