2015-05-14
1867
Пусть в области 
задана функция двух переменных 
.
Определение. Функция 
в окрестности 
точки 
, задана неявно уравнением
, (20)
если при всех 
из этой окрестности справедливо равенство 
.
Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: 
; здесь 
.
Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением , имеем 
, так что
, (21)
и выполняются три условия:
1. Неявная функция непрерывна в точке .
2. Функция 
и ее частные производные 
непрерывны в точке 
.
3. 
.
Тогда неявная функция дифференцируема в точке , и
.
Доказательство. Придадим переменной в точке приращение 
; оно, в свою очередь, вызовет приращение 
неявной функции, и, как следствие, полное приращение функции :
.
Пара чисел 
, будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть
. (22)
При этом в силу непрерывности функции 
имеем: 
=0.
Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует
,
а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для 
имеет место представление (4):
с бесконечно малыми 
при 
. Таким образом,
.
Выразим отсюда 
:
(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки 
ввиду условий 
и ). Переходя в этом равенстве к пределу при 
, получаем:
.
Пример. Пусть неявная функция задана уравнением
;
здесь 
. Точка 
удовлетворяет уравнению, так что для неявной функции имеем: 
. Далее,
; 
.
Поэтому
.
и 
.
