Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс
- Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
- В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
- Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
- Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
- Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. (Развёрнутый угол равен 180°).
- Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
- Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
- Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
- Угол называется прямым, если он равен 90°.
- Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
- Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
- Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
- Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
- Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
- Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
- Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
- Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
- (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
- (Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
- Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
- Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
- Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
- (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
- Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
- Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
- (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
- (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
- Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
- Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
- Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
- Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
- Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
- При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
- (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
- Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
- (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
- (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
- Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
- Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
- Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
- (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
- (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
- (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
- (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
- Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
- Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
- Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
- Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
- Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
- (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
- (Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
- (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
- (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
- (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
- (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
- (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
- (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
- (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
- Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
- (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
- Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
2015-05-27
657019
