2015-06-10
1866
Определение 5.6. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функцию распределения 
можно представить в виде
 . | (5.1) |
Функцию 
называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины Х.
Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (5.1) сходится.
Свойства плотности распределения .
1. 
для всех 
– условие неотрицательности плотности.
2. 
– условие нормировки.
3. 
.
4. Если – дифференцируемая функция, то 
.
Рассмотрим наиболее важные распределения непрерывных случайных величин.
1. Равномерное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина 
имеет равномерное распределение на отрезке 
, если ее плотность распределения
Функция распределения в этом случае определяется выражением:
Заметим, что равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок .
2. Показательное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения
где 
– параметра показательного распределения.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
3. Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами 
, если ее плотность распределения имеет вид
.
При 
– это так называемое стандартное нормальное распределение, плотностью которого является встречавшаяся ранее функция Гаусса
.
Функция распределения нормального распределения случайной величины является интегралом, не выражаемым через элементарные функции:
.
При произвольных значениях параметров 
для функции нормального распределения справедлива формула
,
где 
– интеграл Лапласа (таблица 3 приложения). При этом вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу 
,
 . | (5.2) |
Пример 5.3. Задана плотность распределения непрерывной случайной Х:
Найти постоянный параметр А, функцию распределения . Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал 
.
Решение. 1. Для нахождения постоянного параметра А воспользуемся условием нормировки плотности распределения: 
. Тогда для заданной функции получаем:
,
отсюда 
и плотность распределения примет вид:
2. Найдем функцию распределения 
.
Если 
, то 
, следовательно, 
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Таким образом, искомая функция распределения 
3. 
.
Пример 5.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами 
, 
. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал 
.
Решение. Воспользуемся формулой (5.2), тогда
.
По таблице 3 приложения находим:
, 
,
откуда окончательно получаем
.
