Абсолютно непрерывные распределения

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Определение 5. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .

Пример 2. Пусть , когда , и — в противном случае. Тогда , если .

Очевидно, что для любой плотности распределения верно равенство . Верна и обратная

Теорема 4. Если функция такая, что:

;
,

то существует распределение такое, что является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 5. Если — непрерывная плотность распределения, а — его кумулятивная функция, то

18. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:
M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n

Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) +... + М(Х_n)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х₁ · Х₂ ·... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) ·... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ +... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ +... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х)
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ±... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) +... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации.
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ +... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ +... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

19. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Относительно пределов интегрирования - то же самое.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).

Коэффициент вариации непрерывной случайной величины вычисляется по той же формуле, что и для дискретной с.в.:
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: