double arrow

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полности характеризует случайную величину. Кроме того, в теории вероятностей широко используются некоторые «типичные значения», которые характеризуют случайную величину суммарно. Эти числа, описывающие некоторые характерные черты распределения, называются числовыми характеристиками.

Важнейшей числовой характеристикой положения случайной величины является математическое ожидание.

1 Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, вокруг которого группируются все ее значения. Термин «математическое ожидание» связан с начальным периодом развития теории вероятностей, когда она развивалась на примерах и задачах азартных игр и игрока интересовал средний выигрыш, то есть среднее значение ожидаемого выигрыша. Для дискретных и непрерывных случайных величин математическое ожидание вычисляется, соответственно, по формулам (17) и (18) (при условии, что ряд в формуле (17) и интеграл в формуле (18) сходятся абсолютно):

; (17)

. (18)

В механической интерпретации математическое ожидание характеризует центр тяжести системы.

Свойства математического ожидания:

а)математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

M [ C ] = C;

б)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M [ CX ] = C M [ X ];

в)математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин X 1, X 2, X 3

M [ X 1 ± X 2 ± X 3] = M [ X 1] ± M [ X 2] ± M [ X 3];

г) если , то M [ X ] , то есть математическое ожидание произвольной случайной величины X принадлежит интервалу между минимальным и максимальным возможными значениями случайной величины X;

д)математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех независимых случайных величин X 1, X 2, X 3

M [ X 1 X 2 X 3] = M [ X 1] M [ X 2] M [ X 3].

2 Модой дискретной случайной величины X (обозначается x mod) называется ее наиболее вероятное значение, то есть то значение, для которого вероятность pi достигает максимума. Моду дискретной случайной величины можно определить графически по столбцовой диаграмме, как абсциссу столбца, имеющего наибольшую высоту.

Модой непрерывной случайной величины X (обозначается x mod) называется то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два максимума, то распределение называется двумодальным.

Замечание – Рассмотрим функцию , областью определения которой является промежуток . Если можно указать такую – окрестность точки , принадлежащую промежутку , что для всех , выполняется неравенство , то называют локальным максимумом функции . Максимум функции имеет локальный характер (это наибольшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки).

3 Медианой случайной величины X называется такое ее значение x med, для которого P (X < x med) = P (X ³ x med) = 0,5, то есть одинаково вероятно, примет ли случайная величина значение, большее или меньшее медианы. Геометрически: медиана – это координата той точки на оси абсцисс, для которой площади фигур, ограниченных кривой f (x) и осью абсцисс, находящихся слева и справа от неё, одинаковы и равны 0,5. Учитывая определение функции распределения, .

Эта характеристика применяется, как правило, только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин множество значений х, удовлетворяющих свойству медианы , либо бесконечно, либо является пустым.

Очевидно, что характеристики положения (математическое ожидание, мода и медиана) имеют такую же размерность, как и сама случайная величина.

4 Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Для дискретных и непрерывных случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам

(19)

(20)

В механической интерпретации дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (математического ожидания). Если говорить о форме кривой плотности распределения, то дисперсия характеризует степень ее «размазанности» по оси Ox. Чем больше величина D [ X ], тем более «размазанным» выглядит соответствующее распределение.

Свойства дисперсии:

а)дисперсия постоянной величины равна нулю:

D [ C ] = 0;

б)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D [ CX ] = C 2 D [ X ];

в)дисперсия алгебраической суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Например, для трех случайных величин X 1, X 2 и X 3

D [ X 1 ± Х2 ± Х3] = D [ X 1] + D2] + D3];

г) D [ С ± Х] = D [ X ].

5 Для того чтобы получить характеристику разброса значений случайной величины относительно математического ожидания, имеющую такую же размерность, как и сама случайная величина, используют корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) и обозначается Чем больше разброс значений случайной величины Х вокруг М [ Х ], тем больше и .

Как следует из определения, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Так, если случайная величина имеет размерность «вагон», то математическое ожидание, мода и медиана имеют размерность «вагон», дисперсия размерность «вагон2», а среднее квадратическое отклонение размерность «вагон».

Часто используются две безразмерные числовые характеристики, описывающие скошенность и островершинность графика функции плотности распределения вероятностей.

6 Коэффициент асимметрии (обозначается A [ X ]) характеризует скошенность распределения случайной величины относительно математического ожидания. Для симметричных относительно математического ожидания распределений A [ X ] = 0. Если в распределении случайной величины преобладают положительные отклонения, то A [ X ] > 0, если отрицательные, то A [ X ] < 0. На рисунке 11 изображены графики функций плотности распределения вероятностей с положительным и отрицательным значениями A [ X ], а также график симметричного распределения. Значение коэффициента асимметрии для дискретных и непрерывных случайных величин вычисляется, соответственно по формулам

; .

7 Коэффициент эксцесса (обозначается Ex [ X ]) характеризует островершинность графика функции плотности распределения вероятностей f (x). Своеобразным началом отсчета при измерении степени островершинности служит нормальное распределение, для которого Ex [ X ] = 0. Как правило, распределения с более высокой и более острой вершиной кривой плотности распределения (или многоугольника распределения) имеют положительное значение коэффициента эксцесса, а с более низкой и пологой – отрицательное значение. На рисунке 12 приведены графики функции плотности нормального распределения, а также распределений, имеющих положительное и отрицательное значения коэффициента эксцесса.

Рисунок 11 – Графики функции плотности нормального распределения при различных A [ X ] Рисунок 12 – Графики функции плотности нормального распределения при различных Ex [ X ]

Для вычисления значений коэффициента эксцесса дискретных и непрерывных случайных величин используются следующие формулы:

; .

Пример 29 На основании данных примера 25 вычислить числовые характеристики случайной величины X, а также найти:

Решение. Перепишем ряд распределения в виде:

xi       Итого
pi 0,42 0,46 0,12  
  0,46 0,24 0,7
  0,46 0,48 0,94

Вычислим числовые характеристики данной случайной величины.

Математическое ожидание (расчет в таблице)

то есть среднее число промахов при двух выстрелах равно 0,7.

Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет моду: , то есть наиболее вероятное число промахов при двух выстрелах равно 1.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

[ промахов ], то есть среднее квадратическое отклонение числа промахов при двух выстрелах равно 0,671.

Вычислим (считая, что – независимые случайные величины):

,

Вопросы для самоконтроля

1 Как определяется математическое ожидание дискретной случайной величины?

2 Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку ?

3 Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат интервалу ?

4 Каковы свойства математического ожидания случайной величины?

5 Как определяется дисперсия дискретной случайной величины?

6 Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку ?

7 Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат интервалу ?

8 Что такое среднее квадратическое отклонение?

2.4 Некоторые наиболее важные для практики распределения
случайных величин


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: