Повторение испытаний. Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний, вероятность события в каждом из которых не зависит от исходов других испытаний, то испытания называются независимыми относительно события .

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие имеет одну и ту же вероятность . Вероятность ненаступления события в каждом испытании также одинакова и равна .

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью , «неудача» — с вероятностью .

Вероятность успехов в схеме Бернулли выражается формулой Якоба Бернулли

. (1)

¨ Пусть событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна . ¨

Формулу (1) называют формулой Бернулли.

Так как события, состоящие в различном числе «успехов» в серии из испытаний, несовместны и образуют полную группу, то

. (2)

Заметим, что члены суммы (2) совпадают с членами разложения бинома

Поэтому распределение вероятностей (2) называют биномиальным распределением.

Вероятность не менее успехов в схеме Бернулли выражается формулой

или . (3)

Вероятность хотя бы одного успеха в испытаниях равна

Количество испытаний, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле