Решение задач на прямую и плоскость

Задача 26 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору и пересекает прямую .

Решение

Искомая прямая пересекает данную прямую , значит, через них проходит плоскость . Найдём нормальный вектор плоскости .

, ,

Нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен , т.к. и вектору , т.е. .

Направляющий вектор искомой прямой перпендикулярен вектору по условию и вектору , т.к. , тогда:

,

,

.

Составим канонические уравнения прямой :

умножим полученное на (–29):

Ответ:

Задача 27 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной плоскости и параллельной прямой .

Решение

Уравнение искомой плоскости будем искать по формуле: (*), где

По условию , , значит

Из уравнения плоскости имеем , из уравнения прямой .

Тогда

,

.

Подставим координаты вектора и точки в уравнение (*).

или

Ответ:

Задача 28 Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:

, .

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми найдём как расстояние от точки , до плоскости , проходящей через прямую параллельно прямой .

Уравнение плоскости составим по формуле: (*).

Вектор , т.к. , , т.к. , тогда .

Из уравнения прямой имеем: , аналогично .

подставим в уравнение (*) координаты вектора и точки .

Найдём

Ответ: