Алгебра событий

Определение 1: пространством элементарных событий называют произвольное множество , а его элементы – элементарными событиями.

Пусть – некоторая система случайных событий. Система случайных событий называется алгеброй событий, если выполняются условия:

1) ;

2) если и , то , , .

Другими словам, система является алгеброй событий, если вместе с любыми двумя событиями она содержит их произведение, сумма и разность, а также множество . Из этих условий следует, что пустое множество также принадлежит .

Определение 2: Суммой или объединением событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Пример: стреляют два стрелка и делают по одному выстрелу. Событие А – попадание в мишень первым стрелком; В – попадание в мишень вторым стрелком. Суммой С будет попадание в мишень хотя бы одним стрелком.

Заметим что, если есть событий то их суммой является хотя бы одно из событий .

Для событий справедливо , но , а не 2 A.

Определение 3: произведением событий А и В называется такое событие , которое состоит в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В.

В предыдущем примере о стрелках, произведением является попадание в мишень обоих стрелков.

Аналогично, что произведением конечного числа событий называется событие , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события. Из определения следует, что (а не ).

Определение 4: разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается или .

Числовая функция , определенная на алгебре событий , называется вероятностью, если выполняются следующие аксиомы:

1. Каждому событию ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность, т.е. для любого ( – свойство имеет место для каждого ).

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность сумы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.

4. Для любой убывающей последовательности событий из при .

14.5. Теорема сложения вероятностей двух несовместимых
событий

Теорема: вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: .

Доказательство: пусть в данном испытании число всех элементарных событий равно n. Событию А благоприятствуют k элементарных событий, а событию В – l элементарных событий. Так как А и В несовместимые события, то ни одно из всех n событий не может одновременно благоприятствовать и А и В. Следовательно, событию будет благоприятствовать элементарных события. По определению вероятности имеем: , , , и т.д.