Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства

Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько случайных величин, причем изучение каждой случайной величины отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели явления. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора.

Определение. Совокупность случайных величин , определенных на одном и том же вероятностном пространстве , значения которых совместно описывают результат некоторого случайного эксперимента, называется -мерным случайным вектором (многомерной случайной величиной или системой случайных величин) и обозначается . При этом сами случайные величины , называют координатами (компонентами, составляющими) случайного вектора .

Как и в одномерном случае, исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного вектора является его функция распределения. Рассмотрим вначале случай двумерного случайного вектора , как наиболее часто встречающийся в практических приложениях, а потом полученные результаты обобщим на случай многомерный.

Двумерный случайный вектор обычно обозначают (без введения индексов).

Определение. Функцией распределения случайного вектора называется функция двух действительных переменных и , определяемая при каждом равенством:

. (3.1)

Функцию распределения случайного вектора называют также двумерной функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величин и .

Геометрически функция распределения представляет собой вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке .

Из определения (3.1) следует, что функция распределения случайного вектора определена на всей плоскости .

Действительно, множество при любом по определению случайной величины . Множество при любом по определению случайной величины . Поэтому произведение этих множеств при любых по определению
-алгебры .